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【题目】如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AEBEDE.过点AAE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=.下列结论:①△APD≌△AEB;②B到直线AE的距离为;③EBED;④SAPD+SAPB=1+;⑤S正方形ABCD=4+.其中正确结论的序号是

【答案】①③⑤

【解析】

利用同角的余角相等,易得EAB=∠PAD,再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等;

BBFAE,交AE的延长线于F,利用中的BEP=90°,利用勾股定理可求BE,结合AEP是等腰直角三角形,可证BEF是等腰直角三角形,再利用勾股定理可求EFBF

利用中的全等,可得APD=∠AEB,结合三角形的外角的性质,易得BEP=90°,即可证;

连接BD,求出ABD的面积,然后减去BDP的面积即可;

Rt△ABF中,利用勾股定理可求AB2,即是正方形的面积.

①∵∠EAB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,

∴∠EAB=∠PAD

AE=APAB=AD

APDAEB中,

∴△APD≌△AEB(SAS);

故此选项成立;

③∵△APD≌△AEB

∴∠APD=∠AEB

∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE

∴∠BEP=∠PAE=90°,

EBED

故此选项成立;

BBFAE,交AE的延长线于F

AE=AP,∠EAP=90°,

∴∠AEP=∠APE=45°,

∵③EBEDBFAF

∴∠FEB=∠FBE=45°,

BE===

BF=EF=

故此选项不正确;

如图,连接BD,在Rt△AEP中,

AE=AP=1,

EP=

PB=

BE=

∵△APD≌△AEB

PD=BE=

SABP+SADP=SABD-SBDP=S正方ABCD-×DP×E=×(4+)-××=+

故此选项不正确.

⑤∵EF=BF=,AE=1,

Rt△ABF中,AB2=(AE+EF2+BF2=4+

S正方形ABCD=AB2=4+

故此选项正确.

故答案为:①③⑤.

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