Question

4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（$\frac{3}{2}$，6），B（-3，0），C（6，0），点P在线段AB上，过点P作PQ∥x轴，交AC与点Q，设点P的纵坐标为m．
（1）求线段AB，AC所在直线的解析式；
（2）设PQ的长为d，求出d与m之间的函数关系式；
（3）在x轴上是否存在一点M，使△PQM为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，将A（$\frac{3}{2}$，6），B（-3，0）代入函数解析式，解方程组即可．
（2）求出P、Q两点坐标，d=Q的横坐标-P的横坐标．
（3）分三种情形讨论①当MP=MQ，∠PMQ=90°时，点M在线段PQ的垂直平分线上，②当MP=PQ，∠MPQ=90时，③当MQ=PQ，∠PQM=90°时，列出方程求出m即可．

解答 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，
将A（$\frac{3}{2}$，6），B（-3，0）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+b=6}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
直线AB的函数解析式为y=$\frac{4}{3}$x+4，
同理可求得直线AC的函数解析式为y=-$\frac{4}{3}x$+8，

（2）当y=m时，代入y=$\frac{4}{3}$x+4得x=$\frac{3}{4}$m-3，
即P（$\frac{3}{4}$m-3，m），
当y=m时，代入y=-$\frac{4}{3}$x+8得x=-$\frac{3}{4}$m+6，
即Q（-$\frac{3}{4}$m+6，m），
∴d=PQ=-$\frac{3}{4}$m+6-（$\frac{3}{4}$m-3）=-$\frac{3}{2}$m+9，

（3）①当MP=MQ，∠PMQ=90°时，点M在线段PQ的垂直平分线上，
∴线段PQ的中点坐标为（$\frac{3}{2}$，m），
∴M（$\frac{3}{2}$，0），
②当MP=PQ，∠MPQ=90时，由题意m=-$\frac{3}{2}$m+9，
∴m=$\frac{18}{5}$，
∴点P纵坐标为$\frac{18}{5}$，
∴$\frac{18}{5}$=$\frac{4}{3}$x+4，
∴x=-$\frac{3}{10}$，
此时点M（-$\frac{3}{10}$，0）
③当MQ=PQ，∠PQM=90°时，由②可知，点M的横坐标为$\frac{18}{5}$-$\frac{3}{10}$=$\frac{33}{10}$，
此时点M（$\frac{33}{10}$，0）
综上所述点M₁（-$\frac{3}{10}$，0）或M₂（$\frac{33}{10}$，0）或M₃（$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题考查三角形综合题、一次函数的性质，解题的关键是求出关键点的坐标，学会分类讨论，学会把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．