Question

10．如图，在菱形ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，M、N分别是OA、OC的中点．
（1）四边形BMDN是怎样的四边形？说明你的理由．
（2）当$\frac{AD}{DB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，四边形BMDN是正方形．（不要说明理由）

Answer 1

分析 （1）由O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点M、N分别是OA、OC的中点，易证得四边形BMDN是平行四边形，由对角线互相垂直，即可得出结论；
（2）由正方形的性质得出OB=OD=OM=AM，设OB=OD=OM=AM=1，由勾股定理求出AD，即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC⊥BD．
∵M、N分别是OA、OC的中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA，ON=$\frac{1}{2}$OC，
∴OM=ON，
∴四边形BMDN是平行四边形，
又∵MN⊥BD，
∴四边形BMDN是菱形；
（2）当$\frac{AD}{DB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，四边形BMDN是正方形．理由如下：
∵四边形BMDN是正方形，
∴OB=OD=OM=AM，
设OB=OD=OM=AM=1，
则AD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AD}{DB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的性质、勾股定理；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出AD是解决问题（2）的关键．