Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是射线AB，射线AC上一动点，连接DE交BC于点F，且DF=EF，过点D作DG垂直CB于点G，交CA的延长线于点H，当点D在线段AB上，点E在AC的延长线上时，如图所示，先将∠ADH沿直线AD翻折交AC于点K，若∠BAC=60°，CF：CK=3：5，KE=

14

3

，求BG的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：计算题

分析：作FP⊥AC于P，如图，先判断△ABC为等边三角形得到∠B=∠ACB=60°，由DG⊥BC可得∠BDG=30°，∠H=30°，根据对顶角相等得到∠ADH=30°，再根据折叠的性质得∠DKH=90°，设CF=3x，则CK=5x，由于FD=FE，FP⊥EK，DK⊥AC，则PE=PK，PF为△EDK的中位线，所以PK=

1

2

KE=

7

3

，PC=CK-PK=5x-

7

3

，在Rt△PCF中根据含30度的直角三角形三边的关系得FC=2PC，即3x=2（5x-

7

3

），解得x=

2

3

，则PC=1，PF=

3

PC=

3

，DK=2PF=2

3

；在Rt△ADK中根据含30度的直角三角形三边的关系得到AK=

3

3

DK=2，AD=2AK=4，则AC=AK+CK=

16

3

，所以AB=

16

3

，于是得到BD=AB-AD=

16

3

-4=

4

3

，然后在Rt△BDG中，根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到BG=

1

2

BD=

2

3

．

解答：解：作FP⊥AC于P，如图，
∵∠BAC=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DG⊥BC，
∴∠BDG=30°，∠H=30°，
∴∠ADH=30°，
∵将∠ADH沿直线AD翻折交AC于点K，
∴∠ADK=∠ADH=30°，
∴∠DKH=90°，
设CF=3x，则CK=5x，
∵FD=FE，FP⊥EK，
而DK⊥AC，
∴PE=PK，PF为△EDK的中位线，
∴PK=

1

2

KE=

1

2

×

14

3

=

7

3

，
∴PC=CK-PK=5x-

7

3

，
在Rt△PCF中，∠PCF=60°，∠PFC=30°，
∴FC=2PC，即3x=2（5x-

7

3

），解得x=

2

3

，
∴PC=5×

2

3

-

7

3

=1，FC=2，
∴PF=

3

PC=

3

，
∴DK=2PF=2

3

，
在Rt△ADK中，∠ADK=30°，
∴AK=

3

3

DK=2，AD=2AK=4，
∴AC=AK+CK=2+5×

2

3

=

16

3

，
∴AB=

16

3

，
∴BD=AB-AD=

16

3

-4=

4

3

，
在Rt△BDG中，∠BDG=30°，
∴BG=

1

2

BD=

2

3

．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．