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【题目】[知识生成]通常,用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个恒等式.

例如:如图①是一个长为,宽为的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.请解答下列问题:

1)图②中阴影部分的正方形的边长是________________

2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积:

方法1:________________________;方法2_______________________

3)观察图②,请你写出(a+b2之间的等量关系是____________________________________________

4)根据(3)中的等量关系解决如下问题:,则=

[知识迁移]

类似地,用两种不同的方法计算同一几何体的体积,也可以得到一个恒等式.

5)根据图③,写出一个代数恒等式:____________________________

6)已知,利用上面的规律求的值.

【答案】1 a-b;(2 3;(4 14;(5 a+b3=a3+b3+3a2b+3ab2;(6 9

【解析】

1)由图直接求得边长即可,

2)已知边长直接求面积,阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积,可得答案,

3)利用面积相等推导公式

4)利用(3)中的公式求解即可,

5)利用体积相等推导

6)应用(5)中的公式即可.

解:(1)由图直接求得阴影边长为a-b

故答案为:a-b

2)方法一:已知边长直接求面积为

方法二:阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积,

∴面积为

故答案为

3)由阴影部分面积相等可得

故答案为:

4)由

可得

故答案为

5)方法一:正方体棱长为a+b ∴体积为

方法二:正方体体积是长方体和小正方体的体积和,

故答案为

6)∵

a+b=3ab=1,代入得:

练习册系列答案
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A.①②④⑤
B.③④
C.①③
D.①②⑤

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1)连接BDOE.求证:BDOE

2)连接DEABF.求证:FDE的中点.

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【题目】计算:

1 2

3 7.5+(﹣2)﹣(+22.5+(﹣6 4

5 6

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【题目】如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点,作为第一层,第二层每边有两个点,第三层每边有三个点,依此类推.

1)填写下表:

1

2

3

4

5

该层对应的点数

1

6

2)写出第n层所对应的点数(n≥2).

3)如果某一层共96个点,你知道它是第几层吗?

4)有没有一层,它的点数为100个?

5)写出n层的六边形点阵的总点数.

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【题目】如图,O为坐标原点,点A(1,5)和点B(m,1)均在反比例函数y= 图象上.

(1)求m,k的值;
(2)设直线AB与x轴交于点C,求△AOC的面积.

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【题目】()问题提出:如何把n个边长为1的正方形,剪拼成一个大正方形?

()解决方法

探究一:若n是完全平方数,我们不用剪切小正方形,可直接将小正方形拼成一个大正方形,如图(1),用四个边长为1的小正方形可以拼成一个大正方形.

问题1:请用9个边长为1的小正方形在图(2)的位置拼成一个大正方形.

探究二:若n251013等这些数,都可以用两个正整数的平方和来表示,以n5为例,用5个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形.

(1)计算:拼成的大正方形的面积为5,边长为,可表示成

(2)剪切:如图(3)5个小正方形按如图所示分成5部分,虚线为剪切线;

(3)拼图:以图(3)中的虚线为边,拼成一个边长为的大正方形,如图(4)

问题2:请仿照上面的研究方式,用13个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形;

(1)计算:拼成的大正方形的面积为____,边长为_____,可表示成____

(2)剪切:请仿照图(3)的方法,在图(5)的位置画出图形.

(3)拼图:请仿照图(4)的方法,在图(6)的位置出拼成的图.

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