【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+1)x+(m2+1)=0有两个相等的实数根.
(1)求m的值;
(2)将y=﹣x2+(m+1)x﹣(m2+1)的图象向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写出变化后函数的表达式;
(3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n与变化后的图象有公共点时,求n2﹣4n的最小值
【答案】(1)m的值为1;(2)y=﹣x2﹣4x﹣2;(3)﹣4.
【解析】
(1)根据判别式的意义得到△=(m+1)2﹣4(m2+1)=0,然后解方程即可;
(2)把原抛物线解析式配成顶点式得到y=﹣(x﹣1)2,则它的顶点坐标为(1,0),利用点平移的规律得到平移后抛物线的顶点坐标为(﹣2,2),然后利用顶点式写出变化后函数的表达式;
(3)根据题意方程﹣x2﹣4x﹣2=2x+n有实数解,则利用判别式的意义得到n≤7,再配方得到n2﹣4n=(n﹣2)2﹣4,然后根据二次函数的性质进行问题.
(1)△=(m+1)2﹣4(m2+1)=0,解得:m1=m2=1,即m的值为1;
(2)原抛物线解析式为y=﹣x2+2x﹣1,即y=﹣(x﹣1)2,它的顶点坐标为(1,0),把点(1,0)向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度后的对应点的坐标为(﹣2,2),所以变化后函数的表达式为y=﹣(x+2)2+2,即y=﹣x2﹣4x﹣2;
(3)﹣x2﹣4x﹣2=2x+n,整理得:x2+6x+n+2=0,△=62﹣4(n+2)≥0,解得:n≤7,n2﹣4n=(n﹣2)2﹣4,所以当n=2时,n2﹣4n的值最小,n2﹣4n最小值为﹣4.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论①abc>0;②b2﹣4ac<0;③a+b+c<0;④2a+b=0.其中正确的是( )
A. ①②③ B. ②④ C. ②③ D. ①③④
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【题目】如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,若两个三角形重叠部分的面积为0.5cm2,则它移动的距离AA′等于( )
A.cmB.cmC.cm或cmD. cm
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【题目】已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点.
(1)请求出抛物线的解析式;
(2)当0<x<4时,请直接写出y的取值范围.
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【题目】如图,一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的,隧道宽BC=10米,矩形部分高AB=3米,抛物线型的最高点E离地面OE=6米,按如图建立一个以BC为x轴,OE为y轴的直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如果该隧道内设有双车道,现有一辆货运卡车高4.5米,宽3米,这辆货运卡车能顺利通过隧道吗?
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【题目】如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,直角∠MPN的顶点P与点O重合,直角边PM,PN分别与OA,OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是_____.
(1)EF=OE;(2)S四边形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,AE=;(4)OGBD=AE2+CF2.
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【题目】抛物线的顶点为,与轴的一个交点在点(-3, 0)和(-2 ,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①<0;②<0;③=2;④方程有两个相等的实数根,其中正确结论的个数为________个.
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【题目】已知,如图所示的正方形网格中,每个网格的单位长度为1,△ABC的顶点均在格点上,根据所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)A点的坐标为________;B点的坐标为________;C点的坐标为________.
(2)将点A、B、C的横坐标保持不变,纵坐标分别乘以-1,分别得点A'、B'、C',并连接A'、B'、C'得△A' B' C',请画出△A' B' C'.
(3)△A' B' C'与△ABC的位置关系是________.
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