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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+1x+m2+1)=0有两个相等的实数根.

1)求m的值;

2)将y=﹣x2+m+1xm2+1)的图象向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写出变化后函数的表达式;

3)在(2)的条件下,当直线y2x+n与变化后的图象有公共点时,求n24n的最小值

【答案】(1)m的值为1;(2)y=﹣x2﹣4x﹣2;(3)﹣4.

【解析】

(1)根据判别式的意义得到△=(m+1)2﹣4m2+1)=0,然后解方程即可

(2)把原抛物线解析式配成顶点式得到y=﹣(x﹣1)2则它的顶点坐标为(1,0),利用点平移的规律得到平移后抛物线的顶点坐标为(﹣2,2),然后利用顶点式写出变化后函数的表达式

(3)根据题意方程﹣x2﹣4x﹣2=2x+n有实数解则利用判别式的意义得到n≤7,再配方得到n2﹣4n=(n﹣2)2﹣4,然后根据二次函数的性质进行问题

1)△=(m+1)2﹣4m2+1)=0,解得m1m2=1,m的值为1;

(2)原抛物线解析式为y=﹣x2+2x﹣1,y=﹣(x﹣1)2它的顶点坐标为(1,0),把点(1,0)向左平移3个单位长度再向上平移2个单位长度后的对应点的坐标为(﹣2,2),所以变化后函数的表达式为y=﹣(x+2)2+2,y=﹣x2﹣4x﹣2;

(3)﹣x2﹣4x﹣2=2x+n整理得x2+6x+n+2=0,△=62﹣4(n+2)≥0,解得n≤7,n2﹣4n=(n﹣2)2﹣4,所以当n=2n2﹣4n的值最小n2﹣4n最小值为﹣4.

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