Question

2．如图，AB是⊙O直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连CE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，菱形AOCE，求阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）由OA=OC得∠OCA=∠OAC，由AC平分∠DAB得∠DAC=∠OAC，则∠ADC=∠OCA，根据平行线的判定得OC∥AD，由于AD⊥CD，根据平行线的性质得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理即可得到CD是⊙O的切线；
（2）由菱形的性质得到CE=OC=OE=1，△OCE都为等边三角形，得到∠COE=∠OCE=60°，易得∠DCE=30°，在Rt△DCE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DE、DC，所以易求S_△DCE，由于弓形AE的面积=弓形CE的面积，所以S_阴影=S_△DCE．

解答 （1）证明：∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠ADC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连结OE，如图，
∵四边形OAEC为菱形，
∴CE=OC=OE=2，
∴△OCE都为等边三角形，
∴∠COE=∠OCE=60°，
而∠DCO=90°，
∴∠DCE=30°，
在Rt△DCE中，CE=1，
∴DE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$，DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△DCE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∵AE弧=CE弧，
∴弓形AE的面积=弓形CE的面积，
∴S_阴影=S_△DCE=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了扇形的面积公式．