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【题目】已知,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OAOC分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上,且OAOC)的长是方程的两个根.

1)如图,求点A的坐标;

2)如图,将矩形OABC沿某条直线折叠,使点A与点C重合,折痕交CB于点D,交OA于点E.求直线DE的解析式;

3)在(2)的条件下,点P在直线DE上,在直线AC上是否存在点Q,使以点ABPQ为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请求出点Q坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)(80);(2;(3)存在点,使以点ABPQ为顶点的四边形是平行四边形.

【解析】

1)通过解一元二次方程可求出OA的长,结合点Ax轴正半轴可得出点A的坐标;

2)连接CE,设OE=m,则AE=CE=8-m,在RtOCE中,利用勾股定理可求出m的值,进而可得出点E的坐标,同理可得出点D的坐标,根据点DE的坐标,利用待定系数法可求出直线DE的解析式;

3)根据点AC的坐标,利用待定系数法可求出直线AC的解析式,设点P的坐标为(a2a-6),点Q的坐标为(c-c+4),分AB为边和AB为对角线两种情况考虑:①当AB为边时,利用平行四边形的性质可得出关于ac的二元一次方程组,解之可得出c值,再将其代入点Q的坐标中即可得出结论;②当AB为对角线时,利用平行四边形的对角线互相平分,可得出关于ac的二元一次方程组,解之可得出c值,再将其代入点Q的坐标中即可得出结论.综上,此题得解.

1)解方程x2-12x+32=0,得:x1=4x2=8

OAOC的长是方程x2-12x+32=0的两个根,且OAOC,点Ax轴正半轴上,

∴点A的坐标为(80).

2)连接CE,如图4所示.

由(1)可得:点C的坐标为(04),点B的坐标为(84).

OE=m,则AE=CE=8-m

RtOCE中,∠COE=90°OC=4OE=m

CE2=OC2+OE2,即(8-m2=42+m2

解得:m=3

OE=3

∴点E的坐标为(30).

同理,可求出BD=3

∴点D的坐标为(54).

设直线DE解析式为:

∴直线DE解析式为:

3)∵点A的坐标为(80),点C的坐标为(04),点B的坐标为(84),

∴直线AC的解析式为y=-x+4AB=4

设点P的坐标为(a2a-6),点Q的坐标为(c-c+4).

分两种情况考虑,如图5所示:

①当AB为边时,

解得:c1=c2=

∴点Q1的坐标为(),点Q2的坐标为();

②当AB为对角线时,

解得:

∴点Q3的坐标为(- ).

综上,存在点,使以点ABPQ为顶点的四边形是平行四边形

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成绩分组

组中值

频数

25≤x<30

27.5

4

30≤x<35

32.5

m

35≤x<40

37.5

24

40≤x<45

a

36

45≤x<50

47.5

n

50≤x<55

52.5

4

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成绩/m

1.50

1.60

1.65

1.70

1.75

1.80

人数

2

3

2

3

4

1

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