Question

9．（1）探究一
如图，在?ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若$\frac{AF}{BF}$=3，求$\frac{CD}{CG}$的值．
（2）探究二
如图，在?ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若$\frac{AF}{BF}$=m（m＞0），则$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{m}{2}$（用含m的代数式表示），试写出解答过程．
（3）探究三
如图，在?ABCD中，点E是BC边上的点，且$\frac{BE}{EC}=n（n＞0）$，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若$\frac{AF}{BF}$=m（m＞0），则$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{mn}{n+1}$
（不写解答过程）

Answer 1

分析 （1）本问体现“特殊”的情形，$\frac{AF}{BF}$=3是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；
（2）本问体现“一般”的情形，$\frac{AF}{BF}$=m不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示；
（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到（3）中，如答图3所示．

解答 解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如图1所示．
，则有△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，
∴AB=3EH．
∵?ABCD，EH∥AB，
∴EH∥CD，
又∵E为BC中点，
∴EH为△BCG的中位线，
∴CG=2EH．
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{AB}{CG}$=$\frac{3EH}{2EH}$=$\frac{3}{2}$；

（2）如图2，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=m，
∴AB=mEH．
∵AB=CD，
∴CD=mEH．
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，
∴CG=2EH．
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{m}{2}$．
故答案为：$\frac{m}{2}$．

（3）如图3，所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=m，
∴AB=mEH．
∵AB=CD，
∴CD=mEH．
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∴$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$，∵$\frac{BE}{EC}=n（n＞0）$，
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{n+1}{n}$，
∴CG=$\frac{n+1}{n}$EH．
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{mEH}{\frac{n+1}{n}EH}$=$\frac{mn}{n+1}$，
故答案为：$\frac{mn}{n+1}$．

点评 （1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题还考查了类比、转化、从特殊到一般等思想方法，以及数形结合思想的应用，要熟练掌握．