Question

16．观察下列等式：
①$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；
②$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
③$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$；…
（1）利用你观察到的规律，化简：①$\frac{1}{\sqrt{23}+\sqrt{22}}$=$\sqrt{23}$-$\sqrt{22}$；②$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；
（2）计算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$+…+$\frac{1}{\sqrt{15}+4}$．

Answer 1

分析 （1）根据已知数据变化规律进而得出答案；
（2）利用数据变化规律直接将原式变形进而求出答案．

解答 解：（1）①$\frac{1}{\sqrt{23}+\sqrt{22}}$=$\sqrt{23}$-$\sqrt{22}$；
②$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；
故答案为：$\sqrt{23}$-$\sqrt{22}$；$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$；

（2）$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$+…+$\frac{1}{\sqrt{15}+4}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$+…+4-$\sqrt{15}$
=-1+4
=3．

点评 此题主要考查了分母有理化，正确化简各二次根式是解题关键．