Question

【题目】已知关于x的二次函数y ＝－x2＋（k－2）x＋k＋1.

（1）求证：该函数的图象与x轴一定有两个交点；

（2）当k ＝1时，设该函数的图象与x轴的交点为A、B（A在B的左侧），与y轴的交点为C，点P为其图象的对称轴上一动点，是否存在点P，使BP＋CP最小，若存在，求出点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（，）

【解析】

（1）令y=0，证明△＞0，即可证明该函数的图象与x轴一定有两个交点；（2）当k=1时，求出函数解析式，算出A，B，C的坐标，则A、B关系对称轴对称，要使BP＋CP最小，及使AP＋CP最小，则P为对称轴与直线AC的交点，求出即可.

解：（1）∵△=（k－2）2－4×（－1）（k+1）=k2+8，

∵k2+8≥8，

∴该函数的图象与x轴一定有两个交点；

（2）当k=1时，y=－x2－x+2=－（x+）2+

即此函数图象的对称轴为x=-2，当y=0时，－x2－x+2=0，解得：x1=1，x2=－2，

即A（－2，0），B（1，0）；当x=0时，y=2，即C（0，2）；

∵A、B关于直线x=对称，

∴则A、B关系对称轴对称，要使BP＋CP最小，及使AP＋CP最小，则P为对称轴与直线AC的交点，设直线AC对应的解析式为：y=kx+b，

∴代入A、C两点，则，解得k=1，b=2，即y=x+2，当x=时，y=

∴点P的坐标为（，）