Question

已知菱形ABCD，F为AC上一点，AF=5，∠ABF=90°，边CD上有一点E，CE=1，∠CFE=45°，求菱形ABCD的边长．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：在BC上截取CG=CE，根据菱形的对称性可得∠CFG=∠CFE=45°，再求出∠BFG=∠BAC+45°，∠BGF=∠ACB+45°，根据等边对等角可得∠BAC=∠ACB，然后求出∠BFG=∠BGF，根据等角对等边可得BF=BG，设菱形的边长为x，表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：在BC上截取CG=CE，
由菱形的对称性，∠CFG=∠CFE=45°，
由三角形的外角性质得，∠BFG=∠BAC+∠ABF-∠CFG=∠BAC+90°-45°=45°，∠BGF=∠ACB+45°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∴∠BFG=∠BGF，
∴BF=BG，
设菱形的边长为x，则BF=x-1，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即x²+（x-1）²=5²，
整理得，x²-x-12=0，
解得x₁=-3（舍去），x₂=4．
答：菱形的边长为4．

点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于作辅助线并求出BF=BG．