Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ax2+2ax+c与x轴相交于A（﹣1，0）、B两点（A点在B点左侧），与y轴相交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图1，点F（0，b）在y轴上，连接AF，点Q是线段AF上的一个动点，P是第一象限抛物线上的一个动点，当b＝﹣时，求四边形CQBP面积的最大值与点P的坐标；

（3）如图2，点C1与点C关于抛物线对称轴对称．将抛物线y沿直线AD平移，平移后的抛物线记为y1，y1的顶点为D1，将抛物线y1沿x轴翻折，翻折后的抛物线记为y2，y2的顶点为D2．在（2）的条件下，点P平移后的对应点为P1，在平移过程中，是否存在以P1D2为腰的等腰△C1P1D2，若存在请直接写出点D2的横坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当m＝时，S四边形CQBP取得最大值，此时P点坐标为（，）；（3）存在，满足要求的D2的横坐标有：，，，．

【解析】

（1）将A、C两点坐标代入抛物线解析式当中求出a与c的值即可；

（2）先求出B、F坐标，然后可以证明AF与BC平行，于是△QBC的面积就等于△ABC的面积，问题就转化为求△PBC的面积的最大值，作PE∥y轴交直线BC于E，设P点的横坐标为未知数m，将E点坐标也用m表示，PE的长度用P、E纵坐标之差表示，于是△PBC的面积就可以表示成关于m的二次函数，通过配方法即可求出最值及P点坐标．

（3）由于限定了以P1D2为腰，因此分两大类分别列方程计算即可．

（1）将A（﹣1，0）、C（0，3）代入抛物线解析式得：

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）如图1，连接BC，AC，作PE∥y轴交BC于E．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x+1）（x﹣3）．

∴B（3，0），

∵b＝﹣，

∴F（0，﹣），

∴＝，

∴AF∥BC，

∴S△QBC＝S△ABC＝ABOC＝6，

由B、C两点坐标可得直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，

设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），

PE＝yP﹣yE＝﹣m2+4m，

∴S△PBC＝（xB﹣xC）（yP﹣yE）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣）2+，

∴S四边形CQBP＝S△QBC+S△PBC＝S△ABC+S△PBC＝﹣（m﹣）2+，

∴当m＝时，S四边形CQBP取得最大值，此时P点坐标为（，）．

（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝，

∴D（1，4），抛物线对称轴为x＝1，

∵C1与C关于直线x＝1对称，

∴C1（2，3），

由A、D两点坐标可求得直线AD的解析式为y＝2x+2，

设D1（m，2m+2），

则P1（m+，2m+），D2（m，﹣2m﹣2），

∴，，

，

当P1C1＝P1D2时，＝，解得，．

当C1D2＝P1D2时，9m2+36m+54＝，解得，．

综上所述，满足要求的D2的横坐标有：，，，．