Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点Q在BC上，BQ＝2，点P是AB上的一个动点，连接PQ，将△PBQ沿PQ翻折，点B落在点B′．

（1）当AP＝　 　时，四边形PBQB′的面积是矩形面积的；

（2）当AP为何值时，四边形PBQB′是正方形？为什么？

（3）在翻折过程中是否存在AP的值，使得点B′与矩形对称中心点O重合，如果存在，请求出AP的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）当AP为2时，四边形PBQB'是正方形；（3）存在，AP＝4﹣，

【解析】

（1）先求得矩形ABCD的面积，可知S四边形PBQB'＝6，根据折叠性质可知△PBQ的面积为3，利用三角形面积公式即可解决问题；

（2）利用正方形的性质即可解答；

（3）利用勾股定理求得BD，再利用矩形性质即可知BO，在利用勾股定理求得BE；最后利用相似即可解决问题.

解：（1）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，

∴S矩形ABCD＝ABBC＝4×3＝12，

∵四边形PBQB′的面积是矩形面积的，

∴S四边形PBQB'＝S矩形ABCD＝×12＝6，

由折叠知，△PBQ≌△PB'Q，

∴S△PBQ＝S△PB'Q＝S四边形PBQB'＝3，

∴BQ＝3，

∴S△PBQ＝BQBP＝×2BP＝3，

∴BP＝3，

∴AP＝AB﹣BP＝3，

故答案为：3；

（2）∵四边形PBQB′是正方形，

∴BP＝BQ＝2，

∴AP＝AB﹣BP＝4﹣2＝2，

即：当AP为2时，四边形PBQB'是正方形；

（3）存在，理由：如图，

连接BD，交PQ于E，则BD必过点O，

∵四边形ABCD是矩形，

∴ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC＝3，

根据勾股定理得，BD＝，

∵O是矩形ABCD的中心，

∴BO＝BD＝×5＝，

当点B′与矩形对称中心点O重合时，BE＝BO＝，

由折叠知，BO⊥PQ，

∴∠BEQ＝90°，

在Rt△BEQ中，BQ＝2，

根据勾股定理得，EQ＝ ，

∵∠BEQ＝∠PBQ＝90°，∠BQE＝∠PQB，

∴△BEQ∽△PBQ，

∴ ，

∴，

∴PB＝ ，

∴AP＝AB﹣PB＝4﹣，