Question

如图，?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，DE⊥AE，下列结论：①DE平分∠ADC；②E是BC的中点；③AD=2CD；④梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，其中正确的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：①首先根据平行四边形的性质可得AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAD+∠ADC=180°，再由DE⊥AE可得∠EAD+∠ADE=90°然后可证明DE平分∠ADC；
②根据角平分线的性质证明∠BAE=∠BEA，可得AB=BE，同理可得EC=DC，又有AB=CD可得E是BC的中点；
③根据AD=BC可得AD=2CE=2CD；
④根据平行四边形的性质可得S_△AED=

1

2

S平行四边形ABCD，然后证明S_△ABE=S_△DCE，可得梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1．

解答：解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD=∠BAE=

1

2

∠BAD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAE+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDE，
∴DE平分∠ADC，故①正确；

②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=AC
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAD=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB，
同理EC=DC，
∴EB=EC，
∴E是BC的中点，故②正确；

③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵BE=EC，
∴AD=2CD，故③正确；

④∵四边形ABCD是平行四边形
∴S_△AED=

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2

S平行四边形ABCD，
∴S_△ABE+S_△EDC═

1

2

S平行四边形ABCD，
∵EB=EC，
∴S_△ABE=S_△DCE，
∴梯形ADCE的面积与△ABE的面积比是3：1，故④正确，
故选：D．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．