Question

15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-4）²-1交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为（0，3）．
（1）求a的值；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，求此时圆C的半径；并请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，请说明理由（参考值：$\sqrt{5}$≈2.236，$\sqrt{13}$≈3.606）；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

Answer 1

分析 （1）将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
（3）过P作y轴的平行线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于△PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出△PAC的最大面积及对应的P点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线为y=a（x-4）²-1，抛物线经过点A（0，3），
∴3=a（0-4）²-1，
解得：a=$\frac{1}{4}$；
（2）相交．
理由如下：（如图1）
连接CE，则CE⊥BD，
当$\frac{1}{4}$（x-4）²-1=0时，x₁=2，x₂=6，
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
∴对称轴x=4，
∴OB=2，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{OB}{CE}$，
即$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{2}{CE}$，解得CE=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
∵$\frac{8\sqrt{13}}{13}$＞2，
故抛物线的对称轴l与⊙C相交；

（3）如图2，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q，
可求出AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
设P点的坐标为（m，$\frac{1}{4}$m²-2m+3），
则Q点的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+3）；
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m+3-（$\frac{1}{4}$m²-2m+3）=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m，
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×（-m²+$\frac{3}{2}$m）×6，
=-$\frac{3}{4}$（m-3）²+$\frac{27}{4}$，
∴当m=3时，△PAC的面积最大为$\frac{27}{4}$，
此时，P点的坐标为（3，-$\frac{3}{4}$）．

点评 此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识，解题的关键是能够正确做出图形的辅助线，表示出PQ的长．