Question

【题目】已知BD、CE分别是△ABC的AC边、AB边上的高，M是BC边的中点，分别连结MD、ME、DE。

（1）当∠BAC<90°时，垂足D、E分别落在边AC、AB上，如图1，求证：DM=EM；

（2）若∠BAC=120°，试判断△DEM的形状，并说明理由；

（3）当∠BAC= 时，△DEM是等腰直角三角形。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△DEM是等边三角形，理由见解析；（3）当∠BAC=135°时，△DEM是等腰直角三角形.

【解析】

（1）DM是Rt△BCD斜边BC上的中线，EM是Rt△BCE斜边BC上的中线，根据直角三角形斜边上的中线的性质进行证明即可；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE，由三角形的外角的性质得到∠BME =2∠MCE，∠CMD =2∠DBM，根据三角形的内角和得到∠DBM+∠MCE=60°，即可得到结论；

（3）设∠BAC=x，同（2）可推出∠DME=2x180°，当∠DME=90°时求出x即可.

(1)证明：∵BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点，

∴在Rt△BDC中，MD是斜边BC上的中线，

∴DM=BC；

同理，得EM=BC，

∴DM=EM；

(2)如下图所示，∠BAC=120°，

∵BM=CM=DM=EM，

∴∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE，

∴∠BME=∠MEC+∠MCE=2∠MCE，∠CMD=∠DBM+∠BDM =2∠DBM，

∵∠BAC=120°，

∴∠DBM+∠MCE=60°，

∴∠BME+∠CMD=2（∠MCE +∠DBM）=120°，

∴∠DME=60°，

又∵DM=EM

∴△DEM是等边三角形；

(3)∵BM=CM=DM=EM，

∴∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE，

∴∠BME=2∠MCE，∠CMD=2∠DBM，

设∠BAC=x，

∴∠DBC+∠MCE=180°x，

∴∠BME+∠CMD=360°2x，

∴∠DME=180°(∠BME+∠CMD)=2x180°，

当∠DME=90°时，△DEM是等腰直角三角形，

所以2x180°=90°，解得x=135°，

故当∠BAC=135°时，△DEM是等腰直角三角形