Question

【题目】已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

(1)观察猜想

如图1，当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌△ACF，则

①BC与CF的位置关系为： ；

②BC，DC，CF之间的数量关系为： ；

(2)类比探究

如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，(1)中①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

(3)拓展延伸

如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．

①BC，DC，CF之间的数量关系为：

②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，则OC的长度为 ．

Answer 1

【答案】（1）①BC⊥CF；②BC＝DC＋CF；（2）①成立，②不成立，结论②应改为BC＝CF－DC，理由详见解析；（3）①BC＝DC－CF；②

【解析】

（1）①根据SAS证明△ABD≌△ACF，可得∠ABC＝∠ACF＝45°，则∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，所以BC⊥CF；
②由△ABD≌△ACF的性质和线段的和可得结论；
（2）①成立，证明∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，同理证明△ABD≌△ACF，可得BC⊥CF，
②不成立，由BD＝BC＋CD，BD＝CF，可得新的结论：BC＝CFDC；
（3）①根据图3知：DC最长，同理：△DAB≌△FAC，则BD＝CF，可得BC＝DCCF；
②先根据正方形的边长求对角线DF的长，证明∠DCF＝90°，根据直角三角形斜边中线的性质可得OC的长．

（1）①BC⊥CF，理由是：
如图1，∵四边形ADEF是正方形，
∴∠DAF＝90°，AD＝AF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ABC＝∠ACF＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，
∴BC⊥CF；
②BC＝DC＋CF，
理由是：由①知：△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF，
∴BC＝BD＋CD＝CF＋CD；
故答案为：①BC⊥CF，②BC＝CF＋CD；
（2）①成立，②不成立，结论②应改为BC＝CFDC；
证明：如图2，在正方形ADEF中，
AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°∠BAC∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABD与△ACF中，，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ACF＝∠ABD＝45°，BD＝CF，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，
∴BC⊥CF；
∵BD＝BC＋CD，BD＝CF，
∴BC＝CFDC；
（3）①BC＝DCCF，
理由是：如图3，同理得：∠DAB＝∠FAC，
易证得：△DAB≌△FAC，
∴BD＝CF，
∴DC＝BD＋BC＝CF＋BC，
∴BC＝DCCF；
②正方形ADEF中，边长EF＝2
∴DF＝2
∵∠ABC＝45°
∴∠ABD＝135°
∵△DAB≌△FAC
∴∠ACF＝∠ABD＝135°
∵∠ACB＝45°
∴∠DCF＝90°
∵四边形ADEF是正方形
∴OD＝OF
∴OC＝DF＝．
故答案为：①BC＝DCCF，②．