【题目】如图1,在中,,,点分别是的中点,连接.
(1)探索发现:
图1中,的值为_____________;的值为_________.
(2)拓展探究
若将绕点逆时针方向旋转一周,在旋转过程中的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.
(3)问题解决
当旋转至三点在同一直线时,直接写出线段的长.
【答案】(1); (2)见解析 (3)或
【解析】
(1)先判断出∠AEB=90°,再判断出∠B=30°,进而的粗AE,再用勾股定理求出BE,即可得出结论;
(2)先判断出,进而得出△ACD∽△BCE,即可得出结论;
(3)分点D在线段AE上和AE的延长线上,利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理,最后用线段的和差求出AD,即可得出结论.
解:
解: (1)如图1,连接AE,
∵AB=AC=2,点E分别是BC的中点,
∴AE⊥ BC,
∴∠AEC=90° ,
∵AB=AC=2,∠BAC=120° ,
∴∠B=∠C=30°,
在Rt△ABE中,AE=AB=1,根据勾股定理得,BE
∵点E是BC的中点,
∴BC=2BE
∴
∵点D是AC的中点,
∴AD=CD=AC=1,
∴
故答案为:,;
(2)无变化,理由:
由(1)知,CD=1,,
∴,
∴,
由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD∽△BCE,
∴,
(3)线段BE的长为或,理由如下:
当点D在线段AE上时,
如图2,过点C作CF⊥AE于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,
∴∠DCF=30°,
∴,
∴,
在Rt△AFC中,AC=2,根据勾股定理得,,
∴AD=AF+DF=,
由(2)知,,
∴
当点D在线段AE的延长线上时,
如图3,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G,
∵∠CDG=60°,
∴∠DCG=30°,
∴,
∴,
在Rt△ACG中,根据勾股定理得,,
∴,
由(2)知,,
∴
即:线段BE的长为或.
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【题目】如图,抛物线(是常数,)与轴交于两点,顶点给出下列结论:①;②若在抛物线上,则;③关于的方程有实数解,则;④当时,为等腰直角三角形,其中正确的结论是( )
A.①②B.①③C.②③D.②④
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【题目】2020年1月新冠肺炎大面积爆发,大批的医护人员积极前赴武汉支援一线救治,但是大批的医用物资仍旧极度短缺,我市某中学九年级一班全体同学参加了“加油武汉,加油中国”捐款活动,该班同学捐款情况的部分统计图如图所示:
(1)求该班的总人数,将条形图补充完整.
(2)求出捐款金额的平均数、众数、中位数;
(3)若想在捐款金额为25元的四名同学、、、中选取2位同学负责把钱交到红十字会,请用列表法或画树形图的方法求出恰好选中、两名同学的概率是多少?
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【题目】如图,为⊙的内接三角形,为⊙的直径,在线段上取点(不与端点重合),作,分别交、圆周于、,连接,已知.
(1)求证:为⊙的切线;
(2)已知,填空:
①当__________时,四边形是菱形;
②若,当__________时,为等腰直角三角形.
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【题目】如图,点是直线与的交点,点在上,,垂足为,与交于点,平分,.
(1)求证:是的切线;
(2)若的半径为4,求图中阴影部分的面积.(结果保留和根号).
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【题目】2020年春季开学后,某校制定了《新冠肺炎疫情防控期间就餐规范》,条例规定:不对面就餐、食而不语、错峰就餐、鼓励打包等就餐措施.为了解学生对规范的认知程度,校园小记者随机调查部分同学,并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图表:
请根据以上图表,解答下列问题:
(1)这次被调查的同学共有______人,______,______;
(2)求扇形统计图中B部分所对圆心角度数;
(3)学校团委及政教处准备对“不太了解”及“毫不知情”的同学进行再学习培训,请问我校2400名学生中预计有多少人要接受再学习?
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【题目】如图.在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折,B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E。那么点D的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=﹣2.抛物线与x轴的一个交点在点(﹣4,0)和点(﹣3,0)之间,其部分图象如图所示,下列结论中正确的个数有( )①4a﹣b=0;②c≤3a;③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根;④b2+2b>4ac.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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