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【题目】如图,四边形ABCD是菱形,∠BAD120°,点E在射线AC上(不包括点A和点C),过点E的直线GH交直线AD于点G,交直线BC于点H,且GHDC,点FBC的延长线上,CFAG,连接EDEFDF

1)如图1,当点E在线段AC上时,

①判断AEG的形状,并说明理由.

②求证:DEF是等边三角形.

2)如图2,当点EAC的延长线上时,DEF是等边三角形吗?如果是,请证明你的结论;如果不是,请说明理由.

【答案】1)①AEG是等边三角形;理由见解析;②证明见解析;(2DEF是等边三角形;理由见解析;

【解析】

1)①由菱形的性质得出ADBCABBCCDADABCD,∠CADBAD60°,由平行线的性质得出∠BAD+∠ADC180°,∠ADC60°,∠AGE=∠ADC60°,得出∠AGE=∠EAG=∠AEG60°,即可得出△AEG是等边三角形;
②由等边三角形的性质得出AGAE,由已知得出AECF,由菱形的性质得出∠BCD=∠BAD120°,得出∠DCF60°=∠CAD,证明△AED≌△CFDSAS),得出DEDF,∠ADE=∠CDF,再证出∠EDF60°,即可得出△DEF是等边三角形;
2)同(1)①得:△AEG是等边三角形,得出AGAE,由已知得出AECF,由菱形的性质得出∠BCD=∠BAD120°,∠CADBAD60°,得出∠FCD60°=∠CAD,证明△AED≌△CFDSAS),得出DEDF,∠ADE=∠CDF,再证出∠EDF60°,即可得出△DEF是等边三角形.

1解:△AEG是等边三角形;理由如下:

四边形ABCD是菱形,∠BAD120°

∴AD∥BCABBCCDADAB∥CD∠CAD∠BAD60°

∴∠BAD+∠ADC180°

∴∠ADC60°

∵GH∥DC

∴∠AGE∠ADC60°

∴∠AGE∠EAG∠AEG60°

∴△AEG是等边三角形;

证明:∵△AEG是等边三角形,

∴AGAE

∵CFAG

∴AECF

四边形ABCD是菱形,

∴∠BCD∠BAD120°

∴∠DCF60°∠CAD

△AED△CFD中,

∴△AED≌△CFDSAS

∴DEDF∠ADE∠CDF

∵∠ADC∠ADE+∠CDE60°

∴∠CDF+∠CDE60°

∠EDF60°

∴△DEF是等边三角形;

2)解:△DEF是等边三角形;理由如下:

同(1得:△AEG是等边三角形,

∴AGAE

∵CFAG

∴AECF

四边形ABCD是菱形,

∴∠BCD∠BAD120°∠CAD∠BAD60°

∴∠FCD60°∠CAD

△AED△CFD中,

∴△AED≌△CFDSAS),

∴DEDF∠ADE∠CDF

∵∠ADC∠ADE∠CDE60°

∴∠CDF∠CDE60°

∠EDF60°

∴△DEF是等边三角形.

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