【题目】如图,四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,点E在射线AC上(不包括点A和点C),过点E的直线GH交直线AD于点G,交直线BC于点H,且GH∥DC,点F在BC的延长线上,CF=AG,连接ED,EF,DF.
(1)如图1,当点E在线段AC上时,
①判断△AEG的形状,并说明理由.
②求证:△DEF是等边三角形.
(2)如图2,当点E在AC的延长线上时,△DEF是等边三角形吗?如果是,请证明你的结论;如果不是,请说明理由.
【答案】(1)①△AEG是等边三角形;理由见解析;②证明见解析;(2)△DEF是等边三角形;理由见解析;
【解析】
(1)①由菱形的性质得出AD∥BC,AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠CAD=∠BAD=60°,由平行线的性质得出∠BAD+∠ADC=180°,∠ADC=60°,∠AGE=∠ADC=60°,得出∠AGE=∠EAG=∠AEG=60°,即可得出△AEG是等边三角形;
②由等边三角形的性质得出AG=AE,由已知得出AE=CF,由菱形的性质得出∠BCD=∠BAD=120°,得出∠DCF=60°=∠CAD,证明△AED≌△CFD(SAS),得出DE=DF,∠ADE=∠CDF,再证出∠EDF=60°,即可得出△DEF是等边三角形;
(2)同(1)①得:△AEG是等边三角形,得出AG=AE,由已知得出AE=CF,由菱形的性质得出∠BCD=∠BAD=120°,∠CAD=∠BAD=60°,得出∠FCD=60°=∠CAD,证明△AED≌△CFD(SAS),得出DE=DF,∠ADE=∠CDF,再证出∠EDF=60°,即可得出△DEF是等边三角形.
(1)①解:△AEG是等边三角形;理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,
∴AD∥BC,AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠CAD=∠BAD=60°,
∴∠BAD+∠ADC=180°,
∴∠ADC=60°,
∵GH∥DC,
∴∠AGE=∠ADC=60°,
∴∠AGE=∠EAG=∠AEG=60°,
∴△AEG是等边三角形;
②证明:∵△AEG是等边三角形,
∴AG=AE,
∵CF=AG,
∴AE=CF,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BCD=∠BAD=120°,
∴∠DCF=60°=∠CAD,
在△AED和△CFD中,,
∴△AED≌△CFD(SAS)
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=60°,
∴∠CDF+∠CDE=60°,
即∠EDF=60°,
∴△DEF是等边三角形;
(2)解:△DEF是等边三角形;理由如下:
同(1)①得:△AEG是等边三角形,
∴AG=AE,
∵CF=AG,
∴AE=CF,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠BCD=∠BAD=120°,∠CAD=∠BAD=60°,
∴∠FCD=60°=∠CAD,
在△AED和△CFD中,,
∴△AED≌△CFD(SAS),
∴DE=DF,∠ADE=∠CDF,
∵∠ADC=∠ADE﹣∠CDE=60°,
∴∠CDF﹣∠CDE=60°,
即∠EDF=60°,
∴△DEF是等边三角形.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
(1)过点O作OE⊥BC于点E,连接DE交OC于点F,作FG⊥BC于G点,则△ABC与△FGC是位似图形吗?若是,请说出位似中心,并求出位似比;若不是,请说明理由.
(2)连接DG交AC于点H,作HI⊥BC于I,试确定的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知正五边形ABCDE,AF∥CD交DB的延长线于点F,交DE的延长线于点G.
(1)写出图中所有的等腰三角形;
(2)求证:∠G=2∠F.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】随着经济的快速发展,环境问题越来越受到人们的关注.某校学生会为了了解垃圾分类知识的普及情况,随机调查了部分学生,调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类,并将调查结果绘制成下面两幅统计图.
(1)求:本次被调查的学生有多少名?补全条形统计图.
(2)估计该校1200名学生中“非常了解”与“了解”的人数和是多少.
(3)被调查的“非常了解”的学生中有2名男生,其余为女生,从中随机抽取2人在全校做垃圾分类知识交流,请利用画树状图或列表的方法,求恰好抽到一男一女的概率.
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【题目】如图,⊙P与y轴相切于点C(0,3),与x轴相交于点A(1,0),B(9,0).直线y=kx-3恰好平分⊙P的面积,那么k的值是 ( )
A.
B.
C.
D. 2
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,经过A,D两点的圆的圆心F恰好在y轴上,⊙F与边BC相切于点E,与x轴交于点M,与y轴相交于另一点G,连接AE.
(1)求证:AE平分∠BAC;
(2)若点A,D的坐标分别为(0,﹣1),(2,0),求⊙F的半径;
(3)求经过三点M,F,D的抛物线的解析式.
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【题目】如图,在中,=,=,=,过点作,过作,得阴影;再过作,过作,得阴影;…如此下去,请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为( )
A. B. C. D.
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