Question

17．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形．
①若用不同的方法计算这个边长为a+b+c的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
．（只要写出一个即可）
请利用①中的等式解答下列问题：
②若a，b，c三个数满足a²+b²+c²=29，ab+bc+ca=26，则（a+b+c）²=81．
③因式分解：a²+4b²+9c²+4ab+12bc+6ca=（a+2b+3c）²．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=6，ab=8，请求出阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）①此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac；
②利用①中的等式直接代入求得答案即可；
③分组分解得出答案即可；
（2）利用S_阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解．

解答 解：（1）①这个等式可以为（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac；
②∵a²+b²+c²=29，ab+bc+ca=26，
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）=81；
③a²+4b²+9c²+4ab+12bc+6ca
=（a+2b）²+6c（a+2b）+9c²=（a+2b+3c）²．
（2）∵a+b=6，ab=8，
∴S_阴影=a²+b²-$\frac{1}{2}$（a+b）•b-$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$b²-$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$（a+b）²-$\frac{3}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×6²-$\frac{3}{2}$×8=6

点评 本题考查了因式分解的实际运用，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．