Question

6．已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A（3，2）．
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过M作直线MB‖x轴交y轴于点B．过点A作直线AC∥y轴交于点C，交直线MB于点D，当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由；
（4）探索：x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A（3，2）分别代入y=$\frac{k}{x}$，y=ax中，得a、k的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，得在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的图象在正比例函数的上方；故反比例函数的值大于正比例函数的值；
（3）由S_△OMB=S_△OAC=$\frac{1}{2}$×|k|=3，可得S_矩形OBDC=12，即OC•OB=12，进而可得m、n的值，故可得BM与DM的大小；比较可得其大小关系；
（4）先求出A点坐标，再分OA=OP，OA=AP及OP=AP三种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵将A（3，2）分别代入y=$\frac{k}{x}$，y=ax中，得：2=$\frac{k}{3}$，3a=2，
∴k=6，a=$\frac{2}{3}$，
∴反比例函数的表达式为：y=$\frac{6}{x}$，
正比例函数的表达式为y=$\frac{2}{3}$x．

（2）∵$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x\\ y=\frac{6}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$，
∴C（3，2）
观察图象，得在第一象限内，当0＜x＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值；

（3）BM=DM
理由：∵MN∥x轴，AC∥y轴，
∴四边形OCDB是平行四边形，
∵x轴⊥y轴，
∴?OCDB是矩形．
∵M和A都在双曲线y=$\frac{6}{x}$上，
∴BM×OB=6，OC×AC=6，
∴S_△OMB=S_△OAC=$\frac{1}{2}$×|k|=3，
又∵S_{四边形OADM}=6，
∴S_矩形OBDC=S_{四边形OADM}+S_△OMB+S_△OAC=3+3+6=12，
即OC•OB=12，
∵OC=3，
∴OB=4，
即n=4
∴m=$\frac{6}{n}$=$\frac{3}{2}$，
∴MB=$\frac{3}{2}$，MD=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴MB=MD；

（4）如图，∵S_△OAC=$\frac{1}{2}$OC•AC=3，OC=3，
∴AC=2，
∴A（3，2），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴当OA=OP时，P₁（$\sqrt{13}$，0）；
当OA=AP时，
∵AC⊥x轴，OC=3，
∴OC=CP₂=3，
∴P₂（6，0）；
当OP=AP时，设P₃（x，0），
∵O（0，0），A（3，2），
∴x=$\sqrt{（x-3）^{2}+{2}^{2}}$，解得x=$\frac{13}{6}$，
∴P₃（$\frac{13}{6}$，0）．
综上所述，P点坐标为P₁（$\sqrt{13}$，0），P₂（6，0），P₃（$\frac{13}{6}$，0）．

点评 此题考查的是反比例函数综合题及正比例函数等多个知识点，此题难度稍大，综合性比较强，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．