Question

【题目】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE的延长线于F．连接DE交对角线AC于H．下列结论：①△ACD≌ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB.其中结论正确的是________．(填序号)

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由已知条件可直接证得△ACD≌△ACE；由三角形全等的性质可得CD=CE，又因为AD=AE所以AC是DE的垂直平分线即AC垂直平分ED；延长AF，CB相交于点G，证出△ABG≌△CBE，则AG=CE=CD，再证出AG=2BF即可得出③正确；取CE的中点I连接BI，可得CE=2BI，再证明BF=BI，再利用三角形的外角性质和平行线的性质问题④可得证．

解：①∵AD∥BC，∠ABC=90°，

∴∠BAD=90°．

∵AB=CB，

∴∠BAC=45°，

∴∠DAC=45°．

又∵AC=AC，AE=AD，

∴△AEC≌△ADC．

故①正确．

②∵△AEC≌△ADC，

∴DC=CE．

又∵AD=AE，

∴AC是DE的垂直平分线．

即AC垂直平分ED．

故②正确．

③延长AF，CB相交于点G，则∠ABG=∠ABC=90°，

∵∠BEC+∠BCE=90°，

又∵AF⊥CE，

∴∠AEF+∠BAG=90°，

∵∠BEC=∠AEF，

∴∠BCE=∠BAG，

又∵AB=BC，

∴△ABG≌△CBE，

∴AG=CE=CD，

又∵AD//BC，

∴∠G=∠DCG，

∵BF//CD，

∴∠DCG=∠FBG，

∴∠G=∠FBG，

∴BF=FG．

又∵∠ABG=90°，

∴AG=2BF．

即CE=2BF.

故③正确；

④取CE的中点I，连接BI，则BI=CI=EI.

∴∠CBI=∠BCI，

∴∠BIF=2∠BCI．

∵CE=2BF，

∴BF=BI，

∴∠BFI=∠BIF=2∠BCI．

∵BF//CD，

∴∠BFI=∠DCE,

∴∠BCI=∠DCE=∠ACE，

∴CE平分∠ACB．

故④正确．

故答案为：①②③④．