Question

【题目】问题情境：课堂上，同学们研究几何变量之间的函数关系问题：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4，BD=2．点P是AC上的一个动点，过点P作MN⊥AC，垂足为点P（点M在边AD、DC上，点N在边AB、BC上）．设AP的长为x（0≤x≤4），△AMN的面积为y．

建立模型：（1）y与x的函数关系式为：，

解决问题：（2）为进一步研究y随x变化的规律，小明想画出此函数的图象．请你补充列表，并在如图的坐标系中画出此函数的图象：

x	0		1		2		3		4
y	0								0

（3）观察所画的图象，写出该函数的两条性质：　 　．

Answer 1

【答案】(1) ①y=;②;(2)见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据线段相似的关系得出函数关系式（2）代入①中函数表达式即可填表（3）画图像，分析即可.

（1）设AP=x

①当0≤x≤2时

∵MN∥BD

∴△APM∽△AOD

∴

∴MP=

∵AC垂直平分MN

∴PN=PM=x

∴MN=x

∴y=APMN=

②当2＜x≤4时，P在线段OC上，

∴CP=4﹣x

∴△CPM∽△COD

∴

∴PM=

∴MN=2PM=4﹣x

∴y==﹣

∴y=

（2）由（1）

当x=1时，y=

当x=2时，y=2

当x=3时，y=

（3）根据（1）画出函数图象示意图可知

1、当0≤x≤2时，y随x的增大而增大

2、当2＜x≤4时，y随x的增大而减小