Question

如图，平行四边形OABC在平面直角坐标系中，A（4，0）、C（1，3）．
（1）求B点的坐标；
（2）若P是线段AB上的动点，问

∠PCB+∠POA

∠CPO

是否为定值？若是，求出其值；若不是，求其范围．
（3）若P是线段AB上的动点，

S △BCP+S △OAP

S 四边形OABC

是否为定值？若是，求出其值；若不是，求其范围．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）由条件可知B点的纵坐标和C点的相同，延长BC交y轴于点D，可求得BD的长，可求得B点的横坐标；
（2）过点P作PE∥BC，交OC于点E，则由平行的性质可得出∠PCB+∠POA=∠CPO，可得出结论；、
（3）设平行四边形OABC的AB边上的高为h，则可表示出△BCP和△OAP的面积和，表示出平行四边形OABC的面积，可找出其关系，得出结论．

解答：解：（1）如图1，延长BC交y轴于点D，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC=OA=4，且C点坐标为（1，3），
∴CD=1，OD=3，
∴B点坐标为（5，3）；

（2）如图2，过点P作PE∥BC，交OC于点E，
∵BC∥OA，
∴PE∥OA，
∴∠BCP=∠CPE，∠POA=∠OPE，
∴∠OPC=∠CPE+OPE=∠BCP+∠POA，
∴

∠PCB+∠POA

∠CPO

=

∠CPO

∠CPO

=1，
∴

∠PCB+∠POA

∠CPO

是定值，其值为1；

（3）设平行四边形OABC的AB边上的高为h，
则S_△BCP=

1

2

BP•h，S_△OAP=

1

2

AP•h，S_{平行四边形OABC}=AB•h，
所以S_△BCP+S_△OAP=

1

2

（BP+AP）h=

1

2

AB•h=

1

2

S_{平行四边形OABC}，
所以

S△BCP+S△OAP

S四边形OABC

=

1 2 S四边形OABC

S四边形OABC

=

1

2

，
所以

S △BCP+S △OAP

S 四边形OABC

是定值，其值为

1

2

．

点评：本题主要考查平行四边形的性质，在（2）（3）中找到角或面积之间的关系是解题的关键．