Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与两坐标轴分别交于A，B两点．

（1）若一次函数y＝﹣x+m与直线AB的交点在第二象限，求m的取值范围；

（2）若M是y轴上一点，N是x轴上一点，直线AB上是否存在两点P，Q，使得以M，N，P，Q四点为顶点的四边形是正方形．若存在，求出M，N两点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＜4；（2）M（0，），N（﹣，0）或M（0，﹣），N（，0）或M（0，﹣4），N（﹣，0）；

【解析】

（1）根据题意联立一次函数解析式与直线AB的解析式，据此进一步用表示出，最后根据第二象限的点的坐标特征加以分析即可；

（2）首先求出A、B两点坐标，然后根据题意分图1、图2、图3共三种情况结合相似三角形性质进一步分析求解即可.

（1）联立与，得：，

∴，

∵交点位于第二象限，

∴，

∴；

（2）当时，，

∴A（0，4），

当时，，即：，

∴B（，0），

∴OA＝4，OB＝2．

如图1，过点Q作QH⊥轴于H，

∵MN∥AB，

∴△NMO~△BAO，

∴，

设ON＝，则OM＝，

∵∠MNQ＝90°，

∴∠QNH+∠MNO＝∠MNO+∠NMO＝90°，

∴∠QNH＝∠NMO，

在△QNH和△NMO中，

∵∠QNH＝∠NMO，∠QHN=∠NOM，QN=MN，

∴△QNH△NMO（AAS），

∴QH＝ON＝，HN＝OM＝2，

易得：△BQH~△BAO，

∴，

∴BH＝，

∵OB＝BH+HN+ON，

∴2＝，解得，

∴M（0，），N（，0）；

如图2，过点P作PH⊥轴于H，

易证△PNH~△BAO，

∴，

设PH＝b，则NH＝2b，

同理证得△PNH△NMO，

∴PH＝ON＝b，HN＝OM＝2b，

∴OH＝HNOH＝b，

易得：△BPH~△BAO，

∴，

∴BH＝b，

∵OB＝BH+OH，

∴2＝b+b，解得b＝，

∴M（0，），N（，0）；

如图3，过点P作PH⊥轴于H，PE⊥y轴于E，QF⊥y轴于F，

易得：△PAE~△BAO，

∴，

设PE＝c，则AE＝2c，

同理证得△PNH△PME，

∴PH＝PE＝OE＝c，则AE＝2c，

∵OA＝AE+OE，

∴4＝2c+c，解得c＝，

∵△MQF△PME，

∴MF＝PE＝OE，EM＝FQ，

∴EM＝OF＝FQ，设EM＝OF＝FQ＝m，

则Q（﹣m，﹣m），代入y＝2x+4中，得﹣m＝﹣2m+4，解得m＝4，

∴NO＝NH+OH＝，∴N（，0），

∵OF＝m＝4，

∴M（0，﹣4）．

综上所述M（0，），N（，0）或M（0，），N（，0）或M（0，﹣4），N（，0）．