Question

18．如图，在等边△ABC中，D，E，F分别为边AB，BC，CA上的点，且满足∠DEF=60°．
（1）求证：BE•CE=BD•CF；
（2）若DE⊥BC且DE=EF，求$\frac{BE}{EC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质可知∠B=∠C=60°，再由已知条件和三角形内角和定理可证明∠BDE=∠FEC，进而证明△DBE∽△ECF．
（2）由相似三角形的性质和已知条件得出BD=CE，由含30°角的直角三角形的性质得出BE=$\frac{1}{2}$BD，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵∠DEF=60°，
∴∠DEF=∠B，
∵∠DEC是△DBE的外角，
∴∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE，
∵∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠CEF，
又∵∠B=∠C，
∴△BDE∽△CEF，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{BE}{CF}$，
∴BE•CE=BD•CF；
（2）解：∵△BDE∽△CEF，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{DE}{EF}$，
又∵DE=EF，即$\frac{DE}{EF}=1$，
∴BD=CE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD，
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．