Question

已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②AE=2EC；③劣弧AE是劣弧DE的2倍；④DE=DC．其中不正确结论的序号是（　　）

• A、①
• B、④
• C、③
• D、②

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：

分析：①AB是直径，易知∠AEB=90°，而∠ABE=45°，AB=AC，从而易求∠ABC和∠ACB，进而可求∠EBC；
②在Rt△BCE中，易求∠EBC和∠C，利用BE=tan67.5°•CE，可知BE≠2CE，利用∠BAC=45°，∠AEB=90°，易证△ABE是等腰直角三角形，从而可知AE≠2CE；
③由于∠ABE=45°，BAD=22.5°，易得劣弧AE=2劣弧BD，而劣弧BD=劣弧DE，从而易证劣弧AE=2劣弧DE；
④由圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到一对角相等，再由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠DEC=∠ACB，利用等角对等边即可得到DE=DC．

解答：解：①∵∠A=45°，AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=45°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠EBC=67.5°-45°=22.5°，
此选项正确，不符合题意；
②∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
由①知∠EBC=22.5°，∠C=67.5°，
∴BE=tan67.5°•CE，
∴BE≠2CE，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=45°，
∴∠ABE=45°，
∴AE=BE，
∴AE≠2CE，
此选项错误，符合题意；
③∵∠ABE=45°，∠BAD=22.5°，
∴劣弧AE=2劣弧BD，
∵劣弧BD=劣弧DE，
∴劣弧AE=2劣弧DE，
此选项正确，不符合题意；
④∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，
∴∠DEC=∠ABC，
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DEC=∠ACB，
∴DE=DC，
本选项正确，不符合题意；
故选D．

点评：本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是求出相应角的度数．