Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，D是CB延长线上一点，以BD为边向上作等边三角形EBD，连接AD，若AD＝11，且∠ABE＝2∠ADE，则tan∠ADE的值为_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

如图，在线段DA上取一点T，使得DT＝TE，连接ET，BT，AE，延长BT交DE于K，作TH⊥BD于H．想办法证明∠EAB＝ ∠EBD，推出点A在B为圆心，BE为半径的⊙B上，延长AB交⊙B于J，连接DJ．解直角三角形求出TK，DK即可解决问题．

解：如图，在线段DA上取一点T，使得DT＝TE，连接ET，BT，AE，延长BT交DE于K，作TH⊥BD于H．

∵△BDE是等边三角形，

∴BE＝BD，∠EBD＝60°，

∵TE＝TD，BT＝BT，

∴△BTE≌△BTD（SSS），

∴∠EBT＝∠DBT＝30°，

∵BE＝BD，

∴BK⊥DE，EK＝DK，

∵TE＝TD，

∴∠TED＝∠TDE，

∴∠ATE＝∠TED+∠TDE＝2∠TDE，

∵∠ABE＝2∠ADE，

∴∠ABE＝∠ATE，

∴A，B，T，E四点共圆，

∴∠EAT＝∠EBT＝30°，

∴∠EAB＝∠EBD，

∴点A在B为圆心，BE为半径的⊙B上，延长AB交⊙B于J，连接DJ．

∵AJ是直径，

∴∠ADJ＝90°，

∴DJ＝

∴tan∠DAJ＝ ，

∵BA＝BD，

∴∠BDA＝∠BAD，

∴tan∠BDA＝，

∵TH⊥DH，

∴＝，设TH＝k，则DH＝11k，

在Rt△BHT中，BH＝＝9k，

∴BD＝BH+DH＝20k＝，

∴k＝，

∴BT＝2TH＝，

∵BK＝BDcos30°＝，

∴TK＝BK﹣BT＝，

∵DK＝，

∴tan∠ADE＝．

故答案为：．