Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣ ，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，∠ABO=30°，OB=3OC．

（1）试说明直线AC与直线AB垂直；
（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：结论：AC⊥AB．理由如下：

∵A（ ，0），

∴OA= ，

∵∠ABO=30°，tan∠ABO= = ，

∴BO=3，

∵OB=3OC，

∴OC=1，

∴tan∠ACO= = ，

∠ACO=60°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB；

（2）

解：如图1中，过D作DE⊥x轴于E，

∴∠DEA=∠AOC=90°，

∵tan∠ACO= = ，

∵∠DCB=60°

∵DB=DC，

∴△DBC是等边三角形，

∵BA⊥DC，

∴DA=AC，

∵∠DAE=∠OAC，

在△ADE和△ACO中， ，

∴△ADE≌△ACO，

∴DE=OC=1，AE=OA=

∴OE=2 ，

∴D的坐标为（﹣2 ，1）；

（3）

解：设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，

把B（0，3）和D（﹣2 ，1）代入y=mx+n，

∴ ，解得 ，

∴直线BD的解析式为：y= x+3，

令y=0代入y= x+3，

∴x=﹣3 ，

∴E（﹣3 ，0），

∴OE=3 ，

∴tan∠BEC= = = ，

∴∠BEO=30°，

同理可求得：∠ABO=30°，

∴∠ABE=30°，

当PA=AB时，如图2，

此时，∠BEA=∠ABE=30°，

∴EA=AB，

∴P与E重合，

∴P的坐标为（﹣3 ，0），

当PA=PB时，如图3，

此时，∠PAB=∠PBA=30°，

∵∠ABE=∠ABO=30°，

∴∠PAB=∠ABO，

∴PA∥BC，

∴∠PAO=90°，

∴点P的横坐标为﹣ ，

令x=﹣ 代入y= x+3，

∴y=2，

∴P（﹣ ，2），

当PB=AB时，如图4，

∴由勾股定理可求得：AB=2 ，EB=6，

若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，

过点P1作P1F⊥x轴于点F，

∴P1B=AB=2 ，

∴EP1=6﹣2 ，

∴sin∠BEO= ，

∴FP1=3﹣ ，

令y=3﹣ 代入y= x+3，

∴x=﹣3，

∴P1（﹣3，3﹣ ），

若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，

过点P2作P2G⊥x轴于点G，

∴P2B=AB=2 ，

∴EP2=6+2 ，

∴sin∠BEO= ，

∴GP2=3+ ，

令y=3+ 代入y= x+3，

∴x=3，

∴P2（3，3+ ），

综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3 ，0），（﹣ ，2），（﹣3，3﹣ ），（3，3+ ）．

【解析】（1）根据三角函数求出OB，即可求得OC，再由三角函数求得∠ACO，即可解决问题；（2）如图1中，过D作DE⊥x轴于E．由△ADE≌△ACO，推出DE=OC=1，AE=OA= ，求出点D坐标；（3）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．
【考点精析】利用含30度角的直角三角形和勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．