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【题目】在平面直角坐标系中,为原点,点A0),点B01),点E是边AB中点,把绕点A顺时针旋转,得△ADC,点OB旋转后的对应点分别为DC.记旋转角为

(Ⅰ)如图①,当点D恰好在AB上时,求点D的坐标;

(Ⅱ)如图②,若时,求证:四边形OECD是平行四边形;

(Ⅲ)连接OC,在旋转的过程中,求△OEC面积的最大值(直接写出结果即可).

【答案】(Ⅰ)D);(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)

【解析】

1)先求出∠BAO的度数,然后求出AMDM的长度,进而求出OM的长度,从而得出点D的坐标;

2)先得出△BOE是等边三角形,得到OB=OE=DC,再得到OEDC,从而得出结论;

3)以为圆心,为半径画,过点的延长线于点,当三点共线时,此时高最大,面积最大,求出的值,利用面积公式直接求解即可.

解:()由题意:OA=OB=1

∴在△AOB中,∠AOB90°tanBAO

∴∠BAO30°

由旋转性质得,DAOA=

DDMOAM

则在RtDAM中,DM=AM=

OM=AOOM=

D).

)延长OEACF

RtAOB 中,点EAB的中点,∠BAO30°

OEBE=AE

又∠ABO=60°,∴△BOE是等边三角形,

OE=OB,∴∠BOE=60°,∴∠EOA=30°

由旋转性质,DC=OB

OE=DC

∴∠OAD60°

由旋转性质知,

DAC=∠OAB30°,∠DCA=OBA60°

∴∠OAC=∠OAD+DAC=90°

∴∠OFA90°-∠EOA=90°30°=60°

∴∠DCA=∠OFA

OEDC

∴四边形OECD是平行四边形.

III)以为圆心,为半径画,过点的延长线于点

∵∠BAO30°

,

中点,是直角三角形,

∵圆中最长的弦是直径,

∴当点旋转到如图所示的位置时,即三点共线时,此时高最大,面积最大,

∴在中,

此时,

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【题目】如图,点D在以AB为直径的⊙O上,AD平分,过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E

(1)求证:直线CD是⊙O的切线.

(2)求证:

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【题目】某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究,已知AB=8.

问题思考:

如图1,点P为线段AB上的一个动点,分别以APBP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.

1)在点P运动时,这两个正方形面积之和是定值吗?如果时求出;若不是,求出这两个正方形面积之和的最小值.

2)分别连接ADDFAFAFDP于点A,当点P运动时,在△APK△ADK△DFK中,是否存在两个面积始终相等的三角形?请说明理由.

问题拓展:

3)如图2,以AB为边作正方形ABCD,动点PQ在正方形ABCD的边上运动,且PQ=8.若点P从点A出发,沿A→B→C→D的线路,向D点运动,求点PAD的运动过程中,PQ的中点O所经过的路径的长.

(4)如图(3),在问题思考中,若点MN是线段AB上的两点,且AM=BM=1,点GH分别是边CDEF的中点.请直接写出点PMN的运动过程中,GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.

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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线的图像交于点,抛物线轴于点,过点轴的平行线交两抛物线于两点.若点轴上两抛物线顶点之间的一点,连结,则四边形的面积为________(用含的代数式表示).

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【题目】如图,已知正方形ABCDO为对角线ACBD的交点,过点O的直线EF与直线GH分别交ADBCABCD于点EFGH,若EFGHOCFH相交于点M,当CF=4AG=2时,则OM的长为________

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【题目】随着通讯技术的迅猛发展,人与人之间的沟通方式变得更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了你最喜欢的沟通方式调查问卷(每人必选且只选一种),在全校范围内随机调查了部分学生,将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息回答下列问题:

1)本次调查共调查了______名学生;在扇形统计图中,表示“QQ”的扇形圆心角的度数为______

2)将条形统计图补充完整;

3)该校共有1500名学生,请估计该校最喜欢用微信沟通的学生有多少名?

4)某天甲、乙两名同学都想从微信“QQ”电话三种沟通方式中选一种方式与对方联系,请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率.

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【题目】一辆货车从A地出发以每小时80km的速度匀速驶往B地,一段时间后,一辆轿车从B地出发沿同一条路匀速驶往A地.货车行驶3小时后,在距B160km处与轿车相遇.图中线段表示货车离B地的距离y1与货车行驶的时间x的关系.

1AB两地之间的距离为 km

2)求y1x之间的函数关系式;

3)若两车同时到达各自目的地,在同一坐标系中画出轿车离B地的距离y2与货车行驶时间x的函数图像,用文字说明该图像与x轴交点所表示的实际意义.

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【题目】在平面直角坐标系中,已知函数,其中为常数.

1)当时,求函数图像的顶点坐标(用含的代数式表示);

2)当y最大值为1时,且,求整数的值;

3)当直线与函数的图像只有一个公共点时,求的取值范围;

4)设点轴上,点轴上的正半轴上,已知点,以为边做正方形,当函数的图像与正方形的边有两个公共点时,直接写出的取值范围.

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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数图象经过点,其对称轴为直线

(1)求该二次函数的解析式;

(2)若直线的面积分成相等的两部分,求的值;

(3)是该二次函数图象与轴的另一个交点,点是直线上位于轴下方的动点,点是第四象限内该二次函数图象上的动点,且位于直线右侧.若以点为直角顶点的相似,求点的坐标.

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