Question

1．如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为5．

Answer 1

分析 由∠BMD=∠BMA+∠AMD=∠C+∠CDM，∠B=∠AMD=∠C=45°，可证得△ABM∽△MCD，然后由相似三角形对应边成比例，求得MC与BM的值，然后延长BA与CD交于点E，由勾股定理，即可求得AD的长．

解答 解：∵∠BMD=∠BMA+∠AMD=∠C+∠CDM，
∵∠B=∠AMD=∠C=45°，
∴∠BMA=∠CDM，
∴△ABM∽△MCD，
∴$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CD}$，
∵M为BC边的中点，
∴MC=BM，
∵AB=8，CD=9，
∴BM=MC=6$\sqrt{2}$，
∴BC=12$\sqrt{2}$，
延长BA与CD交于点E，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠E=90°，BE=CE，
∴BE=CE=12，
∴AE=BE-AB=4，DE=CE-CD=3，
在Rt△AED中，AD=5．
故答案为5．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形外角的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．