Question

19．问题情境：
我们知道若一个矩形的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？
探究方法：
用两条直角边分别为a、b的四个全等的直角三角形，可以拼成一个正方形，若a≠b，可以拼成如图①的正方形，从而得到a²+b²＞4×$\frac{1}{2}$ab，即a²+b²＞2ab；若a=b，可以拼成如图②的正方形，从而得到a²+b²=4×$\frac{1}{2}$ab，即a²+b²=2ab．
于是我们可以得到结论：a，b为正数，总有a²+b²≥2ab，且当a=b时，代数式a²+b²取得最小值为2ab．
另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论．
∵（a-b）²=a²-2ab+b²≥0，a²+b²≥2ab，∴对于任意实数a，b，总有a²+b²≥2ab，且当a=b时，代数式a²+b²取得最小值为2ab．
仿照上面的方法，对于正数a，b试比较a+b和2$\sqrt{ab}$的大小关系．
类比应用
利用上面所得到的结论，完成填空：
（1）当x＞0时，x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2x•$\frac{1}{x}$，代数式x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$有最小值为2．
（2）当x＞0时，x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$，代数式x+$\frac{9}{x}$有最小值为6．
（3）当x＞2时，x+$\frac{5}{x-2}$≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{5}{x-2}}$+2，代数式x+$\frac{5}{x-2}$有最小值为2$\sqrt{5}$+2．
问题解决：
若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论？

Answer 1

分析 探究方法：仿照给定的方法，即可得出a+b≥2$\sqrt{ab}$这一结论；
类比应用：（1）根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；
（2）根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；
（3）代数式中先-2再+2，根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；
问题解决：设该矩形的长为a，宽为b（a≥b＞0），根据a+b≥2$\sqrt{ab}$，结合矩形的周长和面积公式，即可得出结论．

解答 解：探究方法：
∵当a，b均为正数时，$（\sqrt{a}-\sqrt{b}）^{2}$=a+b-2$\sqrt{ab}$≥0，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$．
类比应用：
（1）结合探究方法中得出的结论可知：
x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2x•$\frac{1}{x}$=2，代数式x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$有最小值为2．
故答案为：2x•$\frac{1}{x}$；小；2．
（2）结合探究方法中得出的结论可知：
当x＞0时，x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$=6，代数式x+$\frac{9}{x}$有最小值为6．
故答案为：2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$；小；6．
（3）结合探究方法中得出的结论可知：
当x＞2时，x+$\frac{5}{x-2}$≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{5}{x-2}}$+2=2$\sqrt{5}$+2，代数式x+$\frac{5}{x-2}$有最小值为2$\sqrt{5}$+2．
故答案为：2$\sqrt{（x-2）•\frac{5}{x-2}}$+2；小；2$\sqrt{5}$+2．
问题解决：
设该矩形的长为a，宽为b（a≥b＞0），
根据题意知：周长C=2（a+b）≥4$\sqrt{ab}$=4$\sqrt{n}$，且当a=b时，代数式2（a+b）取得最小值为4$\sqrt{n}$，
此时a=b=$\sqrt{n}$．
故若一个矩形的面积固定为n，它的周长是有最小值，周长的最小值为4$\sqrt{n}$，此时矩形的长和宽均为$\sqrt{n}$．

点评 本题考查了矩形的面积公式、矩形的周长公式以及完全平方式的展开式，解题的关键：（探究方法）仿照给定方法套入数据；（类比应用）结合前面得出的结论套入数据；（问题解决）利用前面结论找出周长的最值．本题属于中档题，难度不大，由于本题篇幅较长，孩子们很难耐下心来细读，其实像这样的阅读形题，只要读懂题意仿照例题给定方法，套入数据即可得出结论，为此应加强这方面的练习．