Question

13．在梯形ABCD中AB∥CD，∠BCD=90°，AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．
（1）求证：BC=CD；
（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△EFC的形状，并证明；
（3）在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值．

Answer 1

分析 （1）此题要证明DC=BC不能用全等三角形的性质，利用tan∠ADC=2求出BC然后再判定相等；
（2）容易证明△DEC≌△BFC，得CE=CF，∠ECD=∠FCB，这样容易证明△ECF是等腰直角三角形；
（3）由∠BEC=135°得∠BEF=90°，这样求sin∠BFE，然后利用已知条件就可以求出它的值了．

解答 解：（1）如图，过A作DC的垂线AM交DC于M，则AM=BC=2．

又tan∠ADC=2，
∴DM=$\frac{2}{2}$=1，
即DC=BC；
（2）等腰直角三角形．
证明：在△DEC和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BF}\\{∠EDC=∠FBC}\\{DC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△BFC，
∴CE=CF，∠ECD=∠FCB，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°，
即△ECF是等腰直角三角形；
（3）设BE=k，则CE=CF=2k，
∴EF=2$\sqrt{2}$k，
∵∠BEC=135°，又∠CEF=45°，
∴∠BEF=90°，
所以BF=$\sqrt{{k}^{2}+（2\sqrt{2}k）^{2}}$=3k，
所以sin∠BFE=$\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查三角函数、全等三角形的应用、等腰三角形的判定等知识点的综合应用及推理能力、运算能力，解决本题的关键是作出辅助线．