Question

5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c分别交 x轴于A（4，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3），过点A的直线$y=-\frac{3}{4}x+3$交抛物线与另一点D．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）若点P为x轴上的一个动点，点Q在线段AC上，且Q点到x轴的距离为$\frac{9}{5}$，连接PC、PQ，当△PCQ周长最小时，求出点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的结论下，连接PD，在平面内是否存在△A₁P₁D₁，使△A₁P₁D₁≌△APD（点A₁、P₁、D₁的对应点分别是A、P、D，A₁P₁平行于y轴，点P₁在点A₁上方），且△A₁P₁D₁的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点A₁的横坐标m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）边A、B、C三点坐标代入解方程组即可．
（2）求出点Q坐标，作点Q关于x轴的对称点Q′，连接CQ′交x轴于点P，此时△PCQ周长最小，求出直线CQ′即可解决问题．
（3）分类讨论①当P₁、D₁在抛物线上时，由A₁P₁∥y轴，故不存在．②当P₁、D₁在抛物线上时，设P₁（t，$\frac{3}{4}{t}^{2}$-$\frac{9}{4}$t-3）则D₁（t+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t）或（t-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t）列出方程即可解决．③当A₁、D₁在抛物线上时，设A₁（（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）则D₁（m+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3）或（m-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3），列出方程即可解决．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{16a+4b+c=0}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
所以抛物线解析式为y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{9}{4}x-3}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，所以点D坐标为（-2，$\frac{9}{2}$）．
（2）∵直线AC为y=$\frac{3}{4}$x-3，y_Q=-$\frac{9}{5}$，
∴点Q坐标为（$\frac{8}{5}$，-$\frac{9}{5}$），点Q关于x轴的对称点Q′（$\frac{8}{5}$，$\frac{9}{5}$），连接CQ′交x轴于点P，此时△PCQ周长最小，
∵直线CQ′为y=3x-3，
∴直线CQ′与x轴的交点P为（1，0）．
（3）当A₁、P₁在抛物线上时，由A₁P₁∥y轴，故不存在．
当P₁、D₁在抛物线上时，设P₁（t，$\frac{3}{4}{t}^{2}$-$\frac{9}{4}$t-3）则D₁（t+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t）或（t-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t）．
∴$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t=$\frac{3}{4}$（t+$\frac{9}{2}$）²-$\frac{9}{4}$（t+$\frac{9}{2}$）-3，解得t=-$\frac{11}{36}$，此时m=t=-$\frac{11}{36}$，
或$\frac{3}{4}$t²-$\frac{9}{4}$t=$\frac{3}{4}$（t-$\frac{9}{2}$）²-$\frac{9}{4}$（t-$\frac{9}{2}$）-3，解得t=$\frac{119}{36}$，此时m=t=$\frac{119}{36}$，
当A₁、D₁在抛物线上时，设A₁（（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）则D₁（m+$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3）或（m-$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3）．
∴$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3=$\frac{3}{4}$（m+$\frac{9}{2}$）²-$\frac{9}{4}$（m+$\frac{9}{2}$）-3，解得m=$\frac{5}{36}$，
或$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m+3=$\frac{3}{4}$（m-$\frac{9}{2}$）²-$\frac{9}{4}$（m-$\frac{9}{2}$）-3，解得m=$\frac{103}{36}$．

点评 本题考查待定系数法确定二次函数的解析式、一次函数，全等三角形的性质，轴对称-最小值问题，学会分类讨论，用转化的思想解决问题，属于中考压轴题．