【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3，0），与
轴交于点C（0，-3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值．
（3）点P是x轴上一点，是否存在点P使得△PBD与△CAB相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）M是抛物线上一点，点N在轴，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，D（1，-4）；（2）2；（3）P（
，0）或P（－3，0）；（4）N（1，0）或（
，0）或（－3，0）．
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法，把B、C点的坐标代入解析式即可求解；
（2）作AH⊥BC于点H，通过与x轴的交点y=0构成方程，解方程可得A点的坐标，然后解直角三角形可求解；
（3）作DG⊥OB于点G ，tan∠DBG=tan∠ACB，可得∠DBG=∠ACB，然后利用相似三角形的性质和判定讨论得到P点在在点B的左侧，再根据相似三角形的对应边成比例求解即可；
（4）设M点的坐标为（x，x2-2x-3），然后根据A、C点和M的坐标，结合平行四边形的性质与判定求出N点的坐标即可.
试题解析：（1）y=x2-2x-3
D（1，-4）
（2）作AH⊥BC于点H
x2-2x-3=0
解得x=-1或x=3
所以A点为（-1，0）
∵ OB=OC，∠BOC=90°
∴∠OBC=45°
∵AB=4
∴AH=BH=2
∵BC=3
∴CH=
∴tan∠ACB=2
（3）作DG⊥OB于点G
∵BG=2，DG=4
∴tan∠DBG=2
∵tan∠ACB=2
∴∠DBG=∠ACB
当点P在点B的右侧时，∠PBD＞90°，△PBD是钝角三角形与△CAB不相似，
所以点P在点B的左侧.
∵△PBD与△CAB相似，且∠DBG=∠ACB
∴
或
∵BD=2
∴BP=
或BP=6
∴P（-
，0）或P（-3，0）
（4）N（1，0）或（，0）或（－3，0）．
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【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线交CD于点E.
（1）若∠A=70°，求∠ABE的度数；
（2）若AB∥CD，且∠1=∠2，判断DF和BE是否平行，并说明理由.
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【题目】如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；
（2）①将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
②若AB=2
，CE=2，在图②的基础上将△CED绕点C继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD为菱形时，直接写出线段AE的长度．
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【题目】已知：如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，且AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.
求证：（1）AE=DB；
（2）△CMN为等边三角形.
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【题目】近年来，青少年中的近视眼和肥胖案例日趋增多，人们普遍意识到健康的身体是学习的保障，所以体育活动越来越受重视.某商店分两次购进跳绳和足球两种商品进行销售，每次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示.
购进数量(件) | 购进所需费用(元) | ||
跳绳 | 足球 | ||
第一次 | 30 | 40 | 3800 |
第二次 | 40 | 30 | 3200 |
(1)跳绳和足球两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)商店计划用5300元的资金进行第三次进货，共购进跳绳和足球两种商品100件，其中要求足球的数量不少于跳绳的数量，有哪几种进货方案？
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【题目】“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是多少米；
（2）小明在书店停留了多少分钟；
（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
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【题目】某市为了节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨的部分，按2元/吨收费；超过10吨的部分按2．5元/吨收费．
（1）若黄老师家5月份用水16吨，问应交水费多少元？
（2）若黄老师家7月用水a吨，问应交水费多少元？（用a的代数式表示）
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【题目】已知：如图，在ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形．
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【题目】如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?
(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
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