Question

若AC=AD，∠CAD=60°，AB与CD相交于点F，AF=

8

5

，CD=

3

，延长DB至点P使BP=BC，那么△AFC与△DCP是否相似？若相似，写出证明过程，并求PD的值；若不相似，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：证明△ACD是等边三角形，得到∠PBC=∠CAD=60°；进而证明△PBC为等边三角形，得到∠P=60°；结合∠CAF=∠PDC，问题即可解决．

解答：解：△AFC∽△DCP；理由如下：
∵AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=∠CAD=60°；AC=DC=

3

；
∴∠PBC=∠CAD=60°，而∠BP=BC，
∴△PBC为等边三角形，∠P=60°；
∵∠ACF=60°，∠CAF=∠PDC，
∴△AFC∽△DCP．
在△ABC与△DPC中，
∵

∠ABC=∠P BC=BP ∠ACB=∠DCP

，
∴△ABC与△DPC（ASA），
PD=AB；
由圆及等边三角形的对称性知：
AF平分CD，
∴AB⊥CD；而AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
由射影定理得：AC²=AF•AB，
∴AB=

( 3 )2

8 5

=

15

8

，
∴PD=AB=

15

8

．

点评：该题主要考查了等边三角形的判定、圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质等重要几何知识点的应用问题；解题的关键是深入观察探究、大胆猜测推理、科学解答论证．