Question

【题目】如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若cos∠CAD＝，AF＝6，MD＝2，求FC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）FC＝.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形两锐角互余证得∠EFC+∠OFA=90°，即可证得∠EFO=90°，即EF⊥OF，从而证得结论；
（2）根据圆周角定理得出∠AFM=90°，通过解直角三角形求得AM=10，得出AD=8，进而求得，即可求得．

（1）证明：连接OF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CAD+∠DCA＝90°，

∵EC＝EF，

∴∠DCA＝∠EFC，

∵OA＝OF，

∴∠CAD＝∠OFA，

∴∠EFC+∠OFA＝90°，

∴∠EFO＝90°，

∴EF⊥OF，

∵OF是半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）连接MF，

∵AM是直径，

∴∠AFM＝90°，

在Rt△AFM中，，

∵AF＝6，

∴，

∴AM＝10，

∵MD＝2，

∴AD＝8，

在Rt△ADC中，，

∴，

∴，

∴ .