Question

19．如图，△ABC为等腰直角三角形，AC⊥BC，PA⊥PB，连接PC．
（1）若AB=2，求AC的长；
（2）求证：PA-PB=$\sqrt{2}$PC；
（3）若PA平分∠CAB交BC于F点，则$\frac{PF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）在RT△ABC中，利用勾股定理即可解决．
（2）如图1中，作CE⊥CP交AP于E，利用四点共圆得∠CPA=∠CBA=45°，由△ACE≌△BCP得AE=PB，由此即可解决．
（3）如图3，延长BP、AC交于E，作FM⊥AB，PN⊥BC垂足分别为M、N，由PN∥AC得$\frac{PF}{AF}=\frac{PN}{AC}$设FC=FM=BM=a，则FB=$\sqrt{2}$a，AC=BC=（$\sqrt{2}$+1）a，求出PN即可解决问题．

解答 （1）解：设CB=AC=a，在RT△ACB中，∵∠ACB=90°，AB=2，
∴a²+a²=2²，
∴a²=2，
∵a＞0，
∴a=$\sqrt{2}$．
∴AC=$\sqrt{2}$．
（2）证明：如图1中，作CE⊥CP交AP于E，
∵∠ACB=∠APB=90°，
∴A、B、P、C四点共圆，
∴∠CPA=∠CBA=45°，
∵∠ACB=∠ECP=90°，
∴∠ACE=∠BCP，∠CEP=∠CPE=45°，
∴∠AEC=∠CPB=135°，
在△ACE和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACE=∠BCP}\\{∠AEC=∠CPB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCP，
∴AE=PB，
∴PA-PB=PA-AE=PE=$\sqrt{2}$PC．
（3）解：如图3，延长BP、AC交于E，作FM⊥AB，PN⊥BC垂足分别为M、N．
∵CA=CB，∠ACB=∠FMB=90°，
∴∠ABC=∠MFB=45°，
∴MF=MB，
∵AF平分∠CAB，
∴FC=FM=BM，设FC=FM=BM=a，则FB=$\sqrt{2}$a，AC=BC=（$\sqrt{2}$+1）a，
在△ACF和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠BCE}\\{AC=BC}\\{∠CAF=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE，
∴CF=CE=a，
在△APE和△APB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠PAB}\\{AP=AP}\\{∠APE=∠APB}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APB，
∴PE=PB，
∵∠PNB=∠ECB=90°，
∴PN∥AE，∵PB=PE，
∴NC=NB，
∴PN=$\frac{1}{2}EC$=$\frac{1}{2}$a．
∵PN∥AC，
∴$\frac{PF}{AF}=\frac{PN}{AC}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{（\sqrt{2}+1）a}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、四点共圆等知识，解题的关键是利用四点共圆发现∠CPA=45°，学会常用的添加辅助线的方法，属于中考常考题型．