Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O及点A（﹣4，0）和点C（2，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，将直线y=2x沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，若直线l经过C点，与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点F．若P是抛物线上一点，且PC=PF，求点P的坐标；

（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，求新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标．（直接写出结果，不要解答过程）

Answer 1

【答案】(1) y=x2+x, 顶点坐标为（﹣2，﹣1）；(2) （﹣3+，）或（﹣3﹣，）；

(3) （2，7）．

【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点极坐标；

（2）根据待定系数法，可得直线l的解析式，根据中点坐标公式，可得D是CF的中点，根据勾股定理，可得EF，EC，根据线段垂直平分线的性质，可得ED是线段CF直平分线，根据解方程组，可得P点坐标；

（3）根据平移，可得新抛物线，根据平行于直线与抛物线相切的点到直线的距离最短，可得切线，根据解方程组，可得答案．

详解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O及点A（-4，0）和点C（2，3），

∴，解得 ，

∴抛物线的解析式为y=x2+x；

∵y=x2+x=（x+2）2-1，

∴抛物线的顶点坐标为（-2，-1）；

（2）如图1：

直线l的解析式为y=2x-n，

∵直线l过点C（2，3），

∴n=1，

∴直线l的解析式为y=2x-1，当x=0时，y=-1，即D（0，-1）．

∵抛物线的对称轴为x=-2，

∴E（-2，0）．

当x=-2时，y=2x-1=-5，即F（-2，-5），

∴CD=DF=2，

∴点D是线段CF的中点，

∵C（2，3），

∴EF=EC=5，

∴ED垂直平分CF．

∴PC=PF，

∴点P在CF的垂直平分线上，

∴点P是抛物线与直线ED的交点．

ED的解析式为y=-x-1．

联立抛物线与ED，得

，

解得，，

点P的坐标（-3+，）或（-3-，）；

（3）如图2：

移后的抛物线为y=x2+x+4

平行于CD与物线相切的直线为y=2x+b，

联立，得x2+x+4=2x+b

方程有相等二实根，得

△=b2-4ac=（-1）2-4×（4-b）=0

解得b=3．

x2-x+1=0，

解得x=2，y=2x+3=7，

新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标是（2，7）．