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    在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=4，BC=6．如图，当点O在AD边上时，以O为圆心OA为半径的圆经过点C，且交BC于点E，连结AE，作OF⊥AE于点F．
    （1）∠AOF
     
    ∠ACB；（填写“＞”或“＜”或“=”）
    （2）设AB=x，CE=y，求y与x之间的函数关系式；
    （3）当x取最大值时，以A，E，C，O为顶点的四边形是哪种特殊的四边形？请求出x的最大值并证明你的结论．（请在备用图中完成此问）
    考点：圆的综合题
    专题：
    分析：（1）连结OE，如图1，根据等腰三角形的性质，由OF⊥AE，OA=OE可得∠AOF=
    1
    2
    ∠    AOE，再根据圆周角定理得∠ACE=
    1
    2
    ∠AOE，所以∠AOF=∠ACB；
    （2）先利用平行线的性质得∠BAD=∠B=90°，再利用等角的余角相等得∠AOF=∠BAE，而∠AOF=∠ACB，所以∠BAE=∠ACB，于是可证明△AEB∽△CAB，利用相似比得
    x
    6
    =
    6-y
    x
    ，根据比例性质得y=-
    1
    6
    x2+6；
    （3）如图2，过点O作OG⊥BC于点G，连结OC，易得四边形ABGO为矩形，则OG=x，BG=OA．设⊙O的半径为r，在Rt△OCG中，OC=r，CG=6-r，OG=x，利用勾股定理得x2+（6-r）2=r2，则r=
    1
    12
    x2+3，由0＜r≤4得0＜x≤2
    		3
    ，所以x的最大值是2
    		3
    ，当x=2
    		3
    时，r=4，点O与点D重合，如图3，则CG=2，由于OC=OE，OG⊥BC，根据等腰三角形的性质得CG=EG=2，即CE=4，所以OA=CE，于是可判断四边形AECO是平行四边形，加上CE=4=OC，则可判断四边形AECO是菱形．
    解答：解：（1）连结OE，如图1，
    ∵OF⊥AE，OA=OE，
    ∴OF平分∠AOE，
    ∴∠AOF=
    1
    2
    ∠    AOE，
    ∵∠ACE=
    1
    2
    ∠AOE，
    ∴∠AOF=∠ACE，
    即∠AOF=∠ACB；
    故答案为=；
    （2）∵AD∥BC，∠B=90°，
    ∴∠BAD=∠B=90°，
    ∴∠BAE+∠FAO=90°．
    ∵OF⊥AE，
    ∴∠AFO=90°，
    ∴∠AOF+∠FAO=90°，
    ∴∠AOF=∠BAE，
    又∵∠AOF=∠ACB，
    ∴∠BAE=∠ACB，
    又∵∠B=∠B，
    ∴△AEB∽△CAB．
    ∴
    AB
    BC
    =
    BE
    AB
    ，即
    x
    6
    =
    6-y
    x
    ，
    ∴y=-
    1
    6
    x2+6，
    （3）四边形AECO为菱形．
    如图2，过点O作OG⊥BC于点G，连结OC，
    则四边形ABGO为矩形，
    ∴OG=x，BG=OA，
    设⊙O的半径为r，在Rt△OCG中，OC=r，CG=6-r，OG=x，
    ∵OG2+CG2=OC2，
    ∴x2+（6-r）2=r2，
    ∴r=
    1
    12
    x2+3，
    ∵0＜r≤4，
    ∴0＜x≤2
    		3
    ，
    ∴y=-
    1
    6
    x2+6（0＜x≤2
    		3
    ），
    ∴x的最大值是2
    		3
    ，
    当x=2
    		3
    时，r=4，点O与点D重合，如图3，
    在Rt△OCG中，CG=6-4=2，
    ∵OC=OE，OG⊥BC，
    ∴CG=EG=2，
    ∴CE=4，
    ∴OA=CE，
    又∵OA∥CE，
    ∴四边形AECO是平行四边形，
    ∵CE=4=OC，
    ∴四边形AECO是菱形．
    点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质和菱形的判定方法；会利用勾股定理和相似比进行几何计算．
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    ．

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