Question

【题目】综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，，点．

（1）在图①中，点坐标为__________；

（2）如图②，点在线段上，连接，作等腰直角三角形，，连接．证明：；

（3）在图②的条件下，若三点共线，求的长；

（4）在轴上找一点，使面积为2．请直接写出所有满足条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】(1)(1,3)；

(2)答案见解析；

(3)OD=1

(4)F的坐标是或

【解析】

（1）过C点作轴，垂足为F，在证明了后可得到线段BM、CM的长，再求出线段OM的长，便可得点C的坐标；

(2)根据和等式的基本性质证明,再利用“SAS”定理证明后便可得到；

(3) 三点共线时，可推导出轴，从而有；

(4)根据点F在y轴上，所以中BF上的高总是OA=2，在此处只需要利用其面积为2和三角形的面积计算： ，分点F在点B的上方和下方两种情况讨论可得．

(1)过点C作轴，垂足为M，则

∴

∵

∴

∴

又∵

∴

∴，

∵点

∴，

∴

而点C在第一象限，所以点

(2)∵等腰直角三角形

∴

∵

∴

∴

∴

∴

(3)由(2) 可得

∵三点共线且三角形是等腰直角三角形

∴

∴

又

∴四边形ODCM是矩形

∴

(4)∵点F在y轴上

∴的边BF的高为OA=2

∵

即

∴

当点F在点B的上方时，其坐标为(3,0)；

当点F在点B的下方时，其坐标为(-1,0)．

故点F的坐标为(3,0)或(-1,0)．