【题目】如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.
(1)求证:△ECG≌△GHD;
(2)小亮同学经过探究发现:AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.
(3)若∠B=30°,判定四边形AEGF是否为菱形,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)是菱形,证明见解析
【解析】
(1)依据条件得出∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,依据F是AD的中点,FG∥AE,即可得到FG是线段ED的垂直平分线,进而得到GE=GD,∠CGE=∠GDE,利用AAS即可判定△ECG≌△GHD;(注:本小题也可以通过证明四边形ECGH为矩形得出结论).
(2)过点G作GP⊥AB于P,判定△CAG≌△PAG,可得AC=AP,由(1)可得EG=DG,即可得到Rt△ECG≌Rt△DPG,依据EC=PD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC;
(3)依据∠B=30°,可得∠ADE=30°,进而得到AE=AD,故AE=AF=FG,再根据四边形AEGF是平行四边形,即可得到四边形AEGF是菱形.
解:(1)∵AF=FG,
∴∠FAG=∠FGA,
∵AG平分∠CAB,
∴∠CAG=∠FAG,
∴∠CAG=∠FGA,
∴AC∥FG,
∵DE⊥AC,
∴FG⊥DE,
∵FG⊥BC,
∴DE∥BC,
∴AC⊥BC,
∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,
∵F是AD的中点,FG∥AE,
∴H是ED的中点,
∴FG是线段ED的垂直平分线,
∴GE=GD,∠GDE=∠GED,
∴∠CGE=∠GDE,
∴△ECG≌△GHD;
(2)证明:过点G作GP⊥AB于P,
∴GC=GP,而AG=AG,
∴△CAG≌△PAG,
∴AC=AP,
由(1)可得EG=DG,
∴Rt△ECG≌Rt△DPG,
∴EC=PD,
∴AD=AP+PD=AC+EC;
(3)四边形AEGF是菱形,
证明:∵∠B=30°,
∴∠ADE=30°,
∴AE=AD,
∴AE=AF=FG,
由(1)得AE∥FG,
∴四边形AEGF是平行四边形,
∵AE=AF,
∴四边形AEGF是菱形.
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【题目】如图,中,,DE垂直平分AB,交线段BC于点E(点E与点C不重合),点F为AC上一点,点G为AB上一点(点G与点A不重合),且.
(1)如图1,当时,线段AG和CF的数量关系是 .
(2)如图2,当时,猜想线段AG和CF的数量关系,并加以证明.
(3)若,,,请直接写出CF的长.
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【题目】如图,将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AB′,边AC绕着点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AC′,连结B′C′,当α+β=60°时,我们称△AB′C’是△ABC的“蝴蝶三角形”,已知一直角边长为2的等腰直角三角形,那么它的“蝴蝶三角形”的面积为_________.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子停止转动后,5点朝上是必然事件
B.审查书稿中有哪些学科性错误适合用抽样调查法
C.甲乙两人在相同条件下各射击10次,他们的成绩的平均数相同,方差分别是=0.4,=0.6,则甲的射击成绩较稳定
D.掷两枚质地均匀的硬币,“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为
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【题目】某超市销售一种成本为40元千克的商品,若按50元千克销售,一个月可售出500千克,现打算涨价销售,据市场调查,涨价x元时,月销售量为m千克,m是x的一次函数,部分数据如下表:
观察表中数据,直接写出m与x的函数关系式:_______________:当涨价5元时,计算可得月销售利润是___________元;
当售价定多少元时,会获得月销售最大利润,求出最大利润.
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【题目】(1)如图,正方形的边,分别在正方形的边,上.
填空:和的数量关系是 和的位置关系是 .
(2)把正方形绕点旋转到如图位置,(1)中的结论是否成立?若成立,写成证明过程,若不存在,请说明理由.
(3)设正方形的边长为4,正方形的边长为,正方形绕点旋转过程中,若、、三点共线,求的长.(直接写出结果)
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【题目】如图,将函数y=(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是( )
A. B.
C. D.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根
(1)求实数m的取值范围;
(2)若两个实数根的平方和等于15,求实数m的值.
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