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【题目】如图,ABC中,DAB上一点,DEAC于点EFAD的中点,FGBC于点G,与DE交于点H,若FGAFAG平分∠CAB,连接GEGD

1)求证:ECG≌△GHD

2)小亮同学经过探究发现:ADAC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.

3)若∠B30°,判定四边形AEGF是否为菱形,并说明理由.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3)是菱形,证明见解析

【解析】

1)依据条件得出∠C=DHG=90°,∠CGE=GED,依据FAD的中点,FGAE,即可得到FG是线段ED的垂直平分线,进而得到GE=GD,∠CGE=GDE,利用AAS即可判定△ECG≌△GHD;(注:本小题也可以通过证明四边形ECGH为矩形得出结论).

2)过点GGPABP,判定△CAG≌△PAG,可得AC=AP,由(1)可得EG=DG,即可得到Rt△ECGRt△DPG,依据EC=PD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC

3)依据∠B=30°,可得∠ADE=30°,进而得到AE=AD,故AE=AF=FG,再根据四边形AEGF是平行四边形,即可得到四边形AEGF是菱形.

解:(1)∵AFFG

∴∠FAG=∠FGA

AG平分∠CAB

∴∠CAG=∠FAG

∴∠CAG=∠FGA

ACFG

DEAC

FGDE

FGBC

DEBC

ACBC

∴∠C=∠DHG90°,∠CGE=∠GED

FAD的中点,FGAE

HED的中点,

FG是线段ED的垂直平分线,

GEGD,∠GDE=∠GED

∴∠CGE=∠GDE

∴△ECG≌△GHD

2)证明:过点GGPABP

GCGP,而AGAG

∴△CAG≌△PAG

ACAP

由(1)可得EGDG

Rt△ECGRt△DPG

ECPD

ADAP+PDAC+EC

3)四边形AEGF是菱形,

证明:∵∠B30°

∴∠ADE30°

AEAD

AEAFFG

由(1)得AEFG

∴四边形AEGF是平行四边形,

AEAF

∴四边形AEGF是菱形.

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