Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，D点坐标（6，8），过点D作DB⊥x轴于点B，点C在y轴的正半轴上，将△BCD沿BC折叠，使得点D落在x轴上的点A处．点E从点B出发沿射线BC运动．
（1）求直线BC的解析式；
（2）设以A、O、E、C为顶点的四边形的面积为S，点E的横坐标为a，求出S与a的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）问条件下，当E点在BC延长线上时，a为何值时，∠EDC=∠ACO．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据条件，结合对称性，可求得OB=OC=6，可求得B、C的坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式；
（2）分a＞0和a＜0两种情况，当a＞0时，S_{四边形AOEC}=S_△ABC-S_△BOE；当a＜0时，点E在BC的延长线上，过E作EF⊥x轴于点F，S_{四边形AOCE}=S_梯形OCEF-S_△AEF，再代入可得到S与a的函数关系式；
（3）过D作DE⊥y轴，交BC延长线于点E，交y轴于点M，根据题意可知此时∠EDC=∠ACO，过E作EG⊥x轴于点G，则可知EG=OM=8，进一步可求得a．

解答：解：（1）∵DB⊥x轴于点B，∴∠ABD=90°
由轴对称的性质，∠ABC=∠DBC=

1

2

∠ABD=45°，
又∵∠COB=90°，
∴∠OCB=45°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴OB=OC，
∵D（6，8），
∴B（6，0），
∴OB=OC=6，∴C（0，6），
设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意

b=6 6k+b=0

，解得

k=-1 b=6

，
∴直线BC的解析式为y=-x+6；
（2）当a＞0时，E点在线段BC上，如图1，过点E作EH⊥x轴于点H，

此时OH=a，BH=HE=OB-OH=6-a，
又AB=BD=8，OC=6，
∴S=S_{四边形AOEC}=S_△ABC-S_△BOE=

1

2

AB•OC-

1

2

OB•EH=

1

2

×8×6-

1

2

×6×（6-a）=3a+6；
当a＜0时，E点在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，

此时OF=-a，FA=OF-OA=-a-2，EF=FB=OB+OF=6-a，
又OC=6，
∴S=S_{四边形AOCE}=S_梯形OCEF-S_△AEF=

1

2

（OC+EF）•OF-

1

2

AF•EF=

1

2

（6+6-a）（-a）-

1

2

（6-a）（-a-2）=-4a+6；
又∵E在射线BC上，
∴a＜6，
综上可知S与a的函数关系式为：S=

3a+6(a＞0) -4a+6(a＜0)

；
（3）如图3，过D作DE⊥y轴，交BC延长线于点E，交y轴于点M，
则MD=OB=OC=6，MC=OA=2，
在△MCD和△OAC中，

MD=OC CD=AC MC=AO

，
∴△MCD≌△OAC（SSS），
∴∠EDC=∠ACO，
过E作EG⊥x轴于点G，则可知EG=OM=GB=8，
∵OB=6，
∴OG=2，
∴a=-2，
即当a=-2时，∠EDC=∠ACO．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式和全等三角形的判定和性质、轴对称的性质等知识点的综合应用．求出点的坐标是利用待定系数法的关键，在（2）中注意分a＞0和a＜0两种情况利用分割法求出四边形的面积，在（3）中确定出满足条件的E点的位置是解题的关键．本题难度适中，注意分类讨论思想的应用．