Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+2的图象经过A（-1，-1），C（1，3）．
（1）求二次函数的解析式并画出它的图象；
（2）直接写出点A关于抛物线对称轴的对称点A′的坐标；
（3）求该抛物线上到x轴的距离为2的所有点的坐标．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的图象,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）根据待定系数法即可求得；
（2）由图象可知对称轴x=1，然后确定A（-1，-1）关于直线x=1的对称点即可．
（3）由已知可知|y|=2，把y=±2分别代入即可求得．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+2的图象经过A（-1，-1），C（1，3）．
∴

a-b+2=-1 a+b+2=3.

，
解得

a=-1 b=2

，
∴解析式为y=-x²+2x+2，
图象如图：


（2）根据图象可知，对称轴x=1，所以A'（3，-1）；

（3）抛物线上到x轴的距离为2，即|y|=2，
∴-x²+2x+2=2，或-x²+2x+2=-2，
由-x²+2x+2=2，解得x₁=0，x₂=2；
由-x²+2x+2=-2，解得x₃=1-

10

，x₄=1+

10

．
∴抛物线上点D₁（0，2）（即点B），D₂（2，2），D₃（1-

10

，2），D₄（1+

10

，2）到x
轴的距离都等于2．

点评：本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及图象上点的坐标特征；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．