Question

【题目】如图，AB是△ABC外接圆的直径，O为圆心，CHAB，垂足为H，且∠PCA=∠ACH， CD平分∠ACB，交⊙O于点D，连接BD，AP=2．

（1）判断直线PC是否为⊙O的切线，并说明理由；

（2）若∠P=30°，求AC、BC、BD的长．

（3）若tan∠ACP=，求⊙O半径．

Answer 1

【答案】（1）PC 是⊙O的切线，理由见解析；（2）AC=2；BC=；BD=；（3）⊙O的半径为3．

【解析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质及垂直的定义得到∠PCA+∠OCA=90°，即可证明PC 是⊙O的切线；

（2）根据∠P=30°，可求得∠AOC=60°，进而得到∠OAC=60°，求出∠PCA=30°，AC=AP=2，利用∠ABC=∠AOC=30°，求出AB=2AC=4，利用勾股定理求出BC，利用垂径定理得到AD=BD，利用等腰直角三角形的性质即可求出BD的长；

（3）根据直径和切线的性质得到∠ABC=∠ACH，由tan∠ABC=tan∠ACP=得到，再证明△PAC∽△PCB，得到，求出PC，再求出PB，故可求出半径的长．

（1）PC 是⊙O的切线

理由：连接OC，

OA=OC

∠OCA=∠OAC

CHAB

∠ACH+∠OAC=90°

∠PCA=∠ACH

∠PCA+∠OAC=90°

即：∠PCA+∠OCA=90°

OC为⊙O的半径

PC 是⊙O的切线

（2）连接AD，

PC 是⊙O的切线

∠PCO=90°

∠P=30°

∠AOC=60°

OA=OC

∠OAC=60°

∴∠ACP=∠OAC-∠P=30°

AC=AP=2

∠ABC=∠AOC=60°=30°

AB=2AC=

CD平分∠ACB

∠ACD=∠BCD

弧AD与弧BD相等，

AD=BD

AB为⊙O的直径

∠ADB=90°

∴△ABD是等腰直角三角形；

；

（3）AB为⊙O的直径，

∠ACB=90°

∠ACH+∠BCH=90°

CHAB

∠B+∠BCH=90°

∠ABC=∠ACH

tan∠ABC=tan∠ACP=

∠PCA=∠ACH

∠PCA=∠ABC

∠P=∠P

△PAC∽△PCB

AP=2

PC=4

PB=8

AB=6

⊙O的半径为3．