【题目】在
中，
，
，点
在直线
上（
，
除外），
的垂线
与
的垂线
交于点
，研究和的数量关系.
（1）在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点是的中点时，只需要取
边的中点
（如图），通过推理证明就可以得到
的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系：_____________________
（2）当点是线段上（，除外）任意一点（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？证明你的结论；
（3）点在线段的延长线上，上面得到的结论是否仍然成立呢？在下图中画出图形，并证明你的结论.
【答案】（1）AE=EF；（2）成立，证明见详解；（3）成立，画图、证明见详解.
【解析】
（1）证△AGE≌△EBF即可；
（2）在AC上截取点G使AG=EB，再证△AGE≌△EBF即可；
（3）在AC延长线上截取点G使AG=EB，再证△AGE≌△EBF即可.
证明：（1）∵AB=AC，∠C=90°，G、E分别是AC、BC的中点
∴AG=BE，CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°
∠AGE=180°－∠CGE=135°
∴∠EBF =∠AGE
∵AE⊥EF
∴∠AEC＋∠FEB=90°
∵∠CAE＋∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
（2）成立；在AC上截取点G使AG=EB，
∵AB=AC，∠C=90°AG=BE
∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=∠CAB＋∠ABF=135°
∠AGE=180°－∠CGE=135°
∴∠EBF =∠AGE
∵AE⊥EF
∴∠AEC＋∠FEB=90°
∵∠CAE＋∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
（3）成立，如下图：在AC延长线上截取点G使AG=EB
∵AB=AC，∠C=90°AG=BE
∴CG=CE，∠CAB=∠CBA=45°，∠CGE=45°
∵AB⊥BF
∴∠EBF=90°－∠CBA=45°
∴∠CGE =∠EBF
∵AE⊥EF
∴∠AEC＋∠FEB=90°
∵∠CAE＋∠AEC=90°
∴∠FEB=∠CAE
在△AGE和△EBF中
∴△AGE≌△EBF
∴AE=EF
举一反三同步巧讲精练系列答案
口算与应用题卡系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在北海市创建全国文明城活动中，需要30名志愿者担任“讲文明树新风”公益广告宣传工作，其中男生18人，女生12人．
（1）若从这30人中随机选取一人作为“展板挂图”讲解员，求选到女生的概率；
（2）若“广告策划”只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁担任，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则甲担任，否则乙担任．试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系中，
轴，
轴，点
在x轴上，A（1，2），B（-1，2），D（-3，0），E（-3，-2），G（3，-2）把一条长为2018个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A-B-D-E-F-G-H-P-A…的规律紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）
A.（1，1）B.（1，2）
C.（1，2）D.（1，0）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
⑴ 如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD， 点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=
∠ABC ,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
⑵ 如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】（1）如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）
（2）等腰三角形的两边长满足|a－4|＋(b－9)2＝0.求这个等腰三角形的周长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限且OC=5,点B在x轴的正半轴上且OB=6,∠OAB=90°且OA=AB.
(1)求点A和点B的坐标；
(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O,B重合)，过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA成边AB于点Q，交边OC或边CB于点R，设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m，已知t=4时，直线l恰好过点C，当0<t<3时，求m关于t的函数关系式.
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