Question

8．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于P，E是⊙O上一点，连结AD、AC、AE、DE、CE．
求证：
（1）AE平分∠CED；
（2）AC²=AE•AF．

Answer 1

分析 （1）由垂径定理得出$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，由圆周角定理得出∠AED=∠AEC，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠ACD=∠AEC，再由公共角∠CAF=∠EAC，政策△ACF∽△AEC，得出对应边成比例AC：AE=AF：AC，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，
∴$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，
∴∠AED=∠AEC，
∴AE平分∠CED；
（2）∵$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，
∴∠ACD=∠AEC，
又∵∠CAF=∠EAC，
∴△ACF∽△AEC，
∴AC：AE=AF：AC，
∴AC²=AE•AF．

点评 本题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握垂径定理，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．