Question

【题目】如图，是直径，以为边作等腰，且，与边相交于点，过点作于点，并交的延长线于点．

（1）求证：是的切线．

（2）若，°，求由线段、及所围成的图形（阴影部分）面积．

（3）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）FD=．

【解析】

（1）证明切线需要连接圆心，由OA=OD，BA=BC，可以得到∠A=∠ODA=∠C，所以OD∥BC，由平行线性质可得，∠ODE=∠DEC=．

（2）根据∠F=，OD⊥DF，可判断出△ODF是等腰直角三角形，则阴影部分面积=．

（3）先由角的等量转换求出∠FDB=∠A，可得△FDA∽△FBD，由相似比及，即可解出FD的长．

（1）证明：连接OD，OA＝OD，∠OAD＝∠ODA，

又 AB＝CB，∠BAC＝∠BCA，

∠ODA＝∠BCA，OD // BC，

又 DE⊥BC，DE⊥OD，且DF经过⊙O的半径OD的外端点，

DF是⊙O的切线．

（2）解： ∵∠F=45°，DF⊥OD

∴∠FOD=45°，

∴△ODF是等腰直接三角形，

∴，

∴．

∴

∴

（3）解：由（1）知， ∠FDB＝90°－∠ODB，

又 ∴∠FAD =90°－∠OBD，

∴OD =OB，

∴∠ODB =∠OBD，

∴∠FDB =∠FAD ．

在FDB和FAD中，

∴∠FDB =∠FAD，

∠BFD =∠DFA，

∴FDB∽∠FAD．

∴，

∴ ①，

又

∴

∴ ②．

把①代入②得

∴FD=3FB

又由勾股定理

∴AB=

∴OD=

由勾股定理：

即 ③

把①代入③，解得

FD=．