【题目】问题提出:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点,连结AP、BP,求AP+BP的最小值.
(1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP.∴
,∴PD=
BP,∴AP+
BP=AP+PD.
请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为 .
(2)自主探索:在“问题提出”的条件不变的情况下, AP+BP的最小值为 .
(3)拓展延伸:已知扇形COD中,∠COD=90°,OC=6,OA=3,OB=5,点P是上一点,求2PA+PB的最小值.
【答案】(1);(2)
;(3)13.
【解析】试题分析:(1)连结AD,最短为AD==
;
(2)连接CP,在CA上取点D,使CD=,则有
=
,可证△PCD∽△ACP,得到PD=
AP,故
AP+BP=BP+PD,从而
AP+BP的最小值为BD;
(3)延长OA到点E,使CE=6,连接PE、OP,可证△OAP∽△OPE,得到EP=2PA,得到2PA+PB=EP+PB,当E、P、B三点共线时,得到最小值.
试题解析:(1)连结AD,最短为AD==
;
(2)连接CP,在CA上取点D,使CD=,则有
=
,又∵∠PCD=∠ACP,∴△PCD∽△ACP,∴
=
,∴PD=
AP,∴
AP+BP=BP+PD,∴
AP+BP的最小值为BD=
=
;
(3)延长OA到点E,使CE=6,连接PE、OP,则OA=3,,∵∠AOP=∠AOP,∴△OAP∽△OPE,∴
,∴EP=2PA,∴2PA+PB=EP+PB,当E、P、B三点共线时,取得最小值,为:
=13.
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【题目】在四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°.
(1)如图①,若∠B=∠C,试求出∠C的度数;
(2)如图②,若∠ABC的平分线BE交DC于点E,且BE∥AD,试求出∠C的度数;
(3)如图③,若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,试求出∠BEC的度数.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,下列结论:①∠BAD=∠CAD; ②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;
③BD=CD; ④若点P在直线AD上,则PB=PC.其中正确的是( )
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
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【题目】列方程解应用题
《九章算术》中有“盈不足术”的问题,原文如下:“今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊價各幾何?”题意是:若干人共同出资买羊,每人出5元,则差45元;每人出7元,则差3元.求人数和羊价各是多少?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点D在AB延长线上,且∠BCD=∠A.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若∠A=30°,AC=2,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,P为等边三角形ABC内部一点,△ABP旋转后能与△CBP'重合.
(1)旋转中心是哪一点?旋转角是多少度?
(2)连接PP',△BPP'是什么三角形?并说明你的理由.
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